高数关于不定积分的一个小问题？

Question

绿框那些分子是怎么得到的？求解答，感谢！！！

Answer 1

思路：

若要该不定积分可求，必须将分式：(3x+6)/(x-1)²(x²+x+1)分解成单因式之和的方式

分析该因式的分母，(x-1)²有重根（x=1）,因此，可以分解成：A/(x-1)+B/(x-1)²的形式；

(x²+x+1)只有复根（x=-1/2±√3i/2），因此只能分解成：(Cx+D)/(x²+x+1)的形式

综合：(3x+6)/(x-1)²(x²+x+1) = A/(x-1)+B/(x-1)² +(Cx+D)/(x²+x+1)

上述运用了部分分式基本原则！

根据留数法：

可以得出：A=-2，B=3，C=2，D=1

追问

感谢你的回答！我还有一个问题：对等式两边同时求导后，两边还会相等吗？

追答

求导的本质是，增量极限，等式两边求导是否相等的前提条件可以等价于增量极限是否相等，因此从这个角度分析，一定满足极限的四则运算法则，也就是说：
当等式两边的极限都存在时，两边求导必选相等！

Answer 2

let
(3x+6)/[(x-1)^2.(x^2+x+1)]≡A/(x-1)+B/(x-1)^2+(Cx+D)/(x^2+x+1)
=>
3x+6≡A(x-1)(x^2+x+1)+B(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)^2
x=1, => B=3
3x+6≡A(x-1)(x^2+x+1)+3(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)^2
两边求导
3≡A(x^2+x+1)+A(x-1)(2x+1)+3(2x+1)+2(Cx+D)(x-1) +C(x-1)^2
x=1
3A+9 =3
A=-2
3x+6≡-2(x-1)(x^2+x+1)+3(x^2+x+1)+(Cx+D)(x-1)^2
coef. of x^3
-2+C=0
C=2
coef. of constant
2+3+D =6
D=1
ie
(3x+6)/[(x-1)^2.(x^2+x+1)]≡-2/(x-1)+3/(x-1)^2+(2x+1)/(x^2+x+1)追问

第一句“(3x+6)/[(x-1)^2.(x^2+x+1)]≡A/(x-1)+B/(x-1)^2+(Cx+D)/(x^2+x+1)”，请问为什么两个式子之间可以用恒等于号联立啊？

追答

这是 partial fractional decomposition 部分分数分解