用泰勒公式求极限

Question

1.limx→0 cos3x-e^(-x^2)/xsin2x
2.limx→0 1+0.5x^2-根号下1+x^2/(cosx-e^x^2)sin(x^2)

Answer 1

1、由泰勒公式可得：（在xo=0点展开式）
cos3x=1-(9/2)x^2+(27/8)x^4+o(x^6)
e^(-x^2)=1-x^2+(1/2)x^4+o(x^5)
sin2x=2x-(4/3)x^3+o(x^4) 将以上等式代入所求极限中：
原式=lim[(-7/2)x^2+(23/8)x^4+o(x^5)]/[2x^2-(4/3)x^4+o(x^5)]=-7/4

2、根据泰勒公式：（在xo=0点展开式）
√1+x^2=1+(1/2)x^2-(1/8)x^4+o(x^5)
cosx=1-(1/2)x^2+(1/24)x^4+o(x^5)
e^(x^2)=1+x^2+(1/2)x^4+o(x^5)
sin(x^2)=x^2-(1/6)x^6+o(x^9)=x^2+o(x^5)
原式=lim[(1/8)x^4+o(x^5)]/[(-3/2)x^2+o(x^3)][x^2+o(x^5)]
=lim[(1/8)x^4+o(x^5)]/[(-3/2)x^4+o(x^5)]
=-1/12
在以上计算中，其实不需要完全展开相乘，只写出前面用到的几项即可，后面的合并后用皮亚诺余项的方式来表示。
以上答案仅供参考，如有疑问可继续追问！