不好意思还有一个问题。求二重积分∫∫y*（根号下（1+x^2-y^2））dxdy,其中D是由直线y=x,x=-1,y=1所围成

Question

前面会解，最后答案中有个-1/3 ∫ （上标1，下表-1） [ (1+x^2-y^2)^(3/2) ] ）(上标1，下标x) dx = -1/3 ∫ （上标1，下标-1） (|x|^3-1) dx = -2/3 ∫ (上标1，下标0) (x^3-1) dx =1/2

Answer 1

哦，刚看到
你先把积分区域画出来吧，以y=-x这条直线为分界线，分成两个三角形

这个首先可以根据对称性吧
y=-x以下的三角形面积因为y一正一负相互抵消的

所以你就看y=-x以上的那个三角形面积
其实就是2倍的在第一象限积分区域所得的积分
= ∫ 0到1 dx 乘以∫（x到1） （根号（1+x2-y2） dy2）
= ∫ 0到1 (-2/3x3+2/3)dx=1/2

你写的那个我看不懂不过答案倒是一样的追问

求二重积分的时候如果D区域的图形不全在第一象限要考虑正负？？怎么考虑的？？为什么你说有两个三角形是抵消的，有两个是2倍的？？

追答

这就是对称性吧，积分函数的正负就是判断对称性的重要条件

你那区域不是一个直角三角形吗？
把它沿y=-x分为两部分
左边那部分的积分区域可以抵消，因为根号（1+x2-y2） 是共有的，但是y是一正一负（再分为上下两个小三角形），抵消
右边那个三角形y都是正的，再分为左右两个小三角形之后发现两个是一样的，所以乘以2即可

最后就是第一象限的积分的两倍

你那积分区域不是一个大直角三角形吗?
把它按直线y=-x一分为2
左边那个三角形再分为上下两部分，这两部分可以抵消，因为上下正好一正一负
右边那个三角形你也再分为左右两部分，这两部分左右两块的积分正好相等
所以最后就是第一象限积分的两倍

来自：求助得到的回答