什么是左递归

Question

请举例说明。
请使用通俗易懂的语言，谢谢！！！

Answer 1

左递归在计算机科学里面，左递归是一种递归的特殊状况。在上下文无关文法内里的说法，，若一个非终端符号(non-terminal)r有任何直接的文法规则或者透过多个文法规则，推导出的句型(sentential form)其中最左边的符号 又会出现r，则我们说这个非终端符号r是左递归的。使用类似的方式我们可以定义出某文法本身是左递归的。若我们可以找出其中存在某非终端符号A，最终会推导出来的句型(sentential form)里面包含以自己为最左符号(left-symbol)的句型"[1][编辑]直接左递归直接左递归(Immediate left recursion)以下面的句型规则出现：这里跟代表不同的非终端符号跟终端符号组成的序列，并且不一定要包含。

举例来说，以下规则就是一个直接左递归的例子。 这规则的递归下降分析器(recursive descent parser)可能会像这样：function Expr()
{
Expr(); match('+'); Term();
}
然后这个递归下降分析器在尝试去解析包含此规则的文法时，会陷入一个无穷的递归。[编辑]间接左递归间接左递归(indirect left recursion)最简单的形式如下：这规则可能产生 这种生成。简单的说，间接左递归就是，并非在一条规则内完成左递归，而是在许多条规则之后，于产生的句子最左边出现了一开始的非终端符号。更一般化的说法，对非终端符号，间接左递归被定义为以下的型态：这里的都是一堆终端与非终端符号的序列。[编辑]在由上而下语法分析(top-down parsing)里容纳左递归一个包含左递归的形式文法不能以简易的 递归下降分析器进行语法分析，除非将文法转变为weakly equivalent 的右递归形式 (相对的，在LALR分析器里面则比较偏好左递归，因为比起右递归来说会使用比较少的堆栈)；然而，比较复杂的由上而下(top-down)语法分析器里面可以借由使用缩减(by use of curtailment)来实做一般的上下文无关文法。 在2006年, Frost 和 Hafiz 提出一个算法，可以容纳包含直接左递归生成规则的 模糊文法*(ambiguous grammers)。[2] 在2007年，Frost，Hafiz和Callaghan 将此算法延伸为一个完整的，可以适用并在多项式时间内处理直接或间接左递归，而且可以为高度模糊文法接近指数数目的分析树，产生小一些多项式空间的表示法。[3]这些人后来在Haskell编程语言里面以这个算法实做了一个的分析器组合(parser combinator)的集合。[4][编辑]移除左递归[编辑]移除直接左递归一个一般化后移除直接左递归的算法如下所述。 这个方法已经有过许多的改进，包括Robert C. Moore所撰写，名为"Removing Left Recursion from Context-Free Grammars"的改进。[5]对于每个规则如下(注意这里：A 是一个有左递归的非终端符号 是一个终端与非终端符号的序列，而且不为空字串 () 是一个不以A开头的，以终端与非终端符号组成的序列)将A的规则改成以下规则：然后对新创造出来非终端符号的规则这个新创造出来的符号常被称为"尾巴"(tail)，或者"rest"(剩余)举例，考虑以下规则我们可以改写为然后最后一个规则可以缩短改写为来避免掉左递归的出现[编辑]移除间接左递归如果文法内不存在 (代表空字串)的生成 (不存在这样的规则)，而且不是循环(cyclic)的文法(对所有非终端符号A，不存在像是这种形式的规则)，以下这个一般化的算法可以用来去除文法的间接左递归：将所有非终端符号以某个固定的顺序排列从 i = 1 到 n {
从 j = 1 到 i – 1 {
设的生成规则为将所有规则 换成移除规则中的直接左递归}}[编辑]陷阱上面的转换使用右递归的文法来避免掉左递归的出现；但是这样会改变规则的结合律。左递归会创造出向左的结合律；但是右递归则会创造出向右的结合律。范例 :一开始我们拿到以下文法：在我们使用上面的转换方式来移除掉左递归之后，我们取得了以下文法：我们将字串 'a + a + a'用一个LALR分析器(这种分析器可以处理左递归的文法)使用原先的文法来分析，会得到下面的分析树(parse tree)： Expr
/ | \
Expr + Term
/ | \ \
Expr + Term Factor
| | |
Term Factor Int
| |
Factor Int
|
Int
整个分析树是往左边长，代表在这里的规则，'+'这个符号是左结合(left associative)的，或者说这规则代表(a + a) + a。但是我们改变了文法之后，那这个分析树会变成： Expr ---
/ \
Term Expr' --
| / | \
Factor + Term Expr' ------
| | | \ \
Int Factor + Term Expr'
| | |
Int Factor
|
Int
我们可以看出这棵树现在是往右边成长，意思上代表了a + ( a + a)。我们将'+'的结合绿改变了, 变成是右结合的规则。 在处理加法的文法时这不是什么问题，但是如果我们现在处理的是减法，这就会变成是很严重的问题。问题的关键在于有很多常用的算术规则要求左结合的规则。我们有几种解决办法： (a) 将规则重新改为左递归，(b) 使用更多的非终端符号来改写规则，以强迫文法合乎正确的结合(c) 如果使用YACC 或者Bison，他们有所谓算符宣告(operator declarations)， %left, %right and %nonassoc，这一些算符可以告诉语法分析器产生程式(parser generator)应该遵从哪一种结合。

Answer 2

在计算机科学里面，左递归是一种递归的特殊状况。
在上下文无关文法内里的说法，，若一个非终端符号（non-terminal）r有任何直接的文法规则或者透过多个文法规则，推导出的句型（sentential form）其中最左边的符号 又会出现r，则我们说这个非终端符号r是左递归的。
使用类似的方式我们可以定义出某文法本身是左递归的。