等差数列前n项和公式的推导方法是什么？

Question

如题所述

Answer 1

公式为Sn=n(a1+an)/2，推导：

Sn=a1+a2+……+a(n-1)+an。

则由加法交换律

Sn=an+a(n-1)+……+a2+a1。

两式相加：

2Sn=(a1+an)+[a2+a(n-1)]+……+[a(n-1)+a2]+(an+a1)。

因为等差数列中a1+an=a2+a(n-1)=……

所以2Sn=n(a1+an)。

所以Sn=(a1+an)*n/2。

扩展资料：

等差数列性质

1、在等差数列中，若Sn为该数列的前n项和，S2n为该数列的前2n项和，S3n为该数列的前3n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也为等差数列。

2、记等差数列的前n项和为S。①若a >0，公差d<0，则当a ≥0且an+1≤0时，S 最大；②若a <0 ，公差d>0，则当a ≤0且an+1≥0时，S 最小。

3、数列为等差数列的重要条件是：数列的前n项和S 可以写成S=an^2+bn的形式(其中a、b为常数)。

参考资料来源：百度百科-等差数列

Answer 2

等差数列与等比数列的通项公式是通过递推、归纳得到的。递推和归纳是数学中重要的推导方法；等差数列前n项和公式的推导，根据的是“对称项之和是定值”这一等差数列的重要性质；等比数列前n项和的公式的推导，是利用“错位相减，消去中间项”得到的，也是根据等比数列的特点。

Answer 3

等差数列前n项和公式推导：

（1） Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成

Sn=an+an-1+......a2+a1

两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)

=n(a1+an)

所以Sn=[n（a1+an）]/2 （公式一）

（2）如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则 an=a1+(n-1)d代入公式公式一得

Sn=na1+ [n(n+1)d]/2（公式二）

Answer 4

Sn=a1+a2+......an-1+an也可写成
Sn=an+an-1+......a2+a1
两式相加得2Sn=（a1+an)+(a2+an-1)+......(an+a1)
n个
=n(a1+an)
所以Sn=[n（a1+an）]/2

如果已知等差数列的首项为a1，公差为d，项数为n，则an=a1+(n-1)d代入公式(1)得
Sn=na1+ [n(n+1)d]/2(II)本回答被网友采纳

Answer 5

＝[1＋a^(-1)
a^(-2)＋……＋a^(1-n)]
[1＋4＋7
……＋(3n-2)]
前者为等比数列，公比为a^(-1)
后者为等差数列，公差为3
=[1-a^(-n)]/(1-a)
[1
(3n-2)]*n/2
=[1-a^(-n)]/(1-a)
(3n-1)n/2
(裂项法求和
)
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
通项分解（裂项）如：
（1）1/n(n
1)=1/n-1/(n
1)
（2）1/(2n-1)(2n
1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n
1)]
（3）1/n(n
1)(n
2)=1/2[1/n(n
1)-1/(n
1)(n
2)]
（4）1/(√a
√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）
n·n!=(n
1)!-n!
[例]
求数列an=1/n(n
1)
的前n项和.
解：设
an=1/n(n
1)=1/n-1/(n
1)
（裂项）
则
sn=1-1/2
1/2-1/3
1/4…
1/n-1/(n
1)（裂项求和）
＝
1-1/(n
1)
＝
n/(n
1)
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。
注意：
余下的项具有如下的特点
1余下的项前后的位置前后是对称的。
2余下的项前后的正负性是相反的。