设抛物线y∧2=2px(p＞0)的焦点为f,点m在抛物线上|mf|=5,若以mf为直径的圆过点(0

Question

设抛物线y∧2=2px(p＞0)的焦点为f,点m在抛物线上|mf|=5,若以mf为直径的圆过点(0,2),则抛物线的方程为

Answer 1

抛物线焦点F(p/2，0)，准线x=-p/2
设M坐标为M(a,b),则满足b²=2pa
MF=5，转化为M到准线的距离=5，得a=5-p/2
MF是圆直径，圆心横坐标为(5-p/2+p/2)/2=5/2,纵坐标为b/2，半径为5/2
圆方程为：(x-5/2)²+(y-b/2)²=25/4
圆过点(0,2)，代入圆方程得：25/4+(2-b/2)²=25/4
得b=4
所以4²=2pa=2p(5-p/2)
解得：p1=2，p2=8
抛物线方程为：y²=4x或y²=16x