矩阵的秩与特征值的题目求解

Question

设n阶矩阵A的秩满足r(A+I)+r(A-I)=n,且A不等于I，则A一定有特征值（）.
高等代数的一道填空题，请高手帮忙，谢谢！！！请注明解题思路。
我也认为肯定有的特征值是-1，xiongxionghy和宇智晓波应该都是对的。xiongxionghy的解法和我想得是一样的，晓波你的解法我没看懂，为什么你解答中的第二行就直接能推出第三行啊？帮忙解释下好吗?谢谢啊！

Answer 1

A不等于I 所以A-I不等于0矩阵， 所以A-I秩>=1所以r（A+I）=n-r(A-I)<n
所以（A+I） （A-I）都不是满秩阵则A+I A-I的行列式都为0，则
(A+I)X=0（1式）（A-I)X=0（2式）都有非零解。（1）等价于AX=-X
（2）等价于AX=X，则A必有特征值 1和-1.

Answer 2

一定有特征值-1

证明：
r(A+I)+r(A-I)=n
此时我们考查一种情况：
r(A+I)=n,r(A-I)=0
我们可以肯定这种情况是不会出现的。因为如果r(A-I)=0，必然A=I,这样一来就与题目里的A不等于I矛盾。

所以必然是r(A+I)<n,r(A-I)>0

由第一个式子r(A+I)<n就能得到A有特征值-1本回答被提问者采纳

Answer 3

先问这个I是不是E，如果是的话一定有特征值a=-1
r（A+E）+r（A-E）=n
所以（A+E)(A-E)=0
所以（A+E)(A-E)的行列式=0
因为A不等于E
所以A+E的行列式=0
所以a=-1一定是他的特征值。