怎么能理解“三集合容斥”的公式？

Question

如题所述

Answer 1

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C。

因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中我们应减两次，然而我们却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以我们应该加上多减的一次ABC的交集。

扩展资料：

容斥原理：

容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。

（A∪B = A+B - A∩B)

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。

（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

参考资料来源：教育中国

Answer 2

公式是AUBUC=A+B+C - A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C，很多人不理解为什么最后+A∩B∩C，其实可以转变一下思想，先把A一直当做一个整体，所以，A和B相交，-A∩B就是A不变，B少了一个A∩B；A和C相交，-A∩C就是A不变，C少了一个A∩C；最后B和C相交，此时他们两已经都缺少了一部分，-B∩C 相当于多减去一个ABC三者的交集，即A∩B∩C，所以最后再加上A∩B∩C。

附拙作一幅。

如有不理解的可以回复我。

Answer 3

A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C

因为A、B、C与A交B两两的交集它们中都含A交B交C，然而ABC两两交集中我们应减两次，然而我们却将ABC两两交集中的A交B交C减了三次，所以我们应该加上多减的一次ABC的交集

举例：

某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？

分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。

答案：25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3

容斥原理：

容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。（A∪B = A+B - A∩B)

如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）

参考资料

教育中国：http://edu.china.com.cn/2011-08/29/content_23303912.htm

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Answer 4

容斥原理三集合的标准，这个公式有点难哦