在三角形abc中,∠A=∠ABC=∠ADB=70°,CD=BE，求∠BDE____

Question

如题所述

Answer 1

在△ABC中 ∠A=∠ABC=∠BDA=70° BE=CD 求∠BDE的度数
解法一：证明：在△ABC左侧找一点P，使△PBC为正三角形。
则∠PCA=60°-40°=20°
∠PAC=80°
而△PDB全等于△CDB
PD=DC
∠PDA=∠DCE
AD=EC（BE=CD）
∴△PDA全等于△DCE
∴∠CED=80°
∠CDE=60°
∴∠BDE=50°（肇东市第十中学刘奎军）
解法二：证明:在△ABC右侧找一点O，使O点是△BCD的外接圆圆心，
连接CO、 BO、DO，DO与BC的交点为Q，则有
∠COD=2∠CDB=60°
∴△COD为正三角形
∠OCQ=∠OBQ=20°
∴∠OQB=80°
则∠BOQ=80°
∴BQ=BO=CO=CD=BE
则Q、E重合
∴∠CDE=∠CDQ=60°
∴∠BDE=50°（肇东市第十中学刘奎军）自己作图吧，图传不上去。

Answer 2

解法三：证明：设∠BDE=x 根据正弦定理得
BE/sinx=DE/sin30°
CD/sin(x+30°)=DE/sin40°
BE=CD 由上面两式得
sin(x+30°)/ sinx= sin40°/ sin30°即
sin(x+30°)= 2sinx sin40°
∴sin(x+30°)cos40°= 2sinx sin40°cos40°
= sinx sin80°
∴sin(x+30°)sin50°= sinx sin80°
积化和差得：
cos(x+80°)- cos(x-20°)= cos(x+80°)- cos(x-80°)
即cos(x-80°)- cos(x-20°)=0
和差化积得：
sin(x-50°)sin30°=0
∴x-50°=kπ (k∈Z)
又由于0＜x＜110°
∴x= 50°（肇东市第十中学刘奎军）

Answer 3

如下图所示

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