一道09年中考数学题

Question

某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造。已知△ABC的边BC长120米，高AD为80米。学校计划将它分割成△AHG.△BHE.△GFC和矩形EFGH。其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点H.G分别在边AB.AC上。现计划在△AHG上种草，每平方米6元，在△BHE.△FCG上种上花，每平方米10元，在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米4元。
（1）当FG为多少米时，种草的和种花的面积相等？
（2）当矩形EFGH的边FG为多少米是，△ABC空地改造投资最小？最小值为多少？

Answer 1

记FG/AD=x(0<=x<=1)，于是：
S△BHE/S△ABD=(HE/AD)^2=(FG/AD)^2=x^2 ....(a)
S△GFC/S△ACD=(FG/AD)^2=x^2 ....(b)
由(a)、(b)两式可知：S△BHE+S△GFC=(x^2)*S△ABD+(x^2)*S△ACD=(x^2)*S△ABC ...(c)
S△AHG/S△ABC=(AG/AC)^2=[1-(CG/AC)]^2=[1-(FG/AD)]^2=(1-x)^2 ...(d)
S四边形EFGH/S△ABC=1-[(S△BHE+S△GFC+S△AHG)/S△ABD]=2*(x-x^2) ...(e)

问题一：
由题意，S△AHG=S△BHE+S△GFC，即(1-x)^2=x^2，解得x=1/2，即FG=(1/2)*AD=40米

问题二：
空地改造投资费用总和Sum=
6*S△AHG+10*(S△BHE+S△GFC)+4*S四边形EFGH=
[6*(1-x)^2+10*x^2+8*(x-x^2)]*S△ABC=
[8*x^2-4*x+6]*S△ABC

显然二次函数y=8*x^2-4*x+6在x=1/4，即FG=20米时，y取最小值11/2，这个时候的投资费用总和为(11/2)*(1/2)*120*80=26400元

某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造。已知△ABC的边BC长120米，高AD为80米。学校计划将它分割成△AHG.△BHE.△GFC和矩形EFGH。其中矩形EFGH的一边EF在边BC上，其余两个顶点H.G分别在边AB.AC上。现计划在△AHG上种草，每平方米6元，在△BHE.△FCG上种上花，每平方米10元，在矩形EFGH上兴建爱心鱼池，每平方米4元。
（1）当FG为多少米时，种草的和种花的面积相等？
（2）当矩形EFGH的边FG为多少米是，△ABC空地改造投资最小？最小值为多少？

Answer 2

学过中位线没？HG就是abc的中位线，.给你通俗的答案
FG=40的时候面积相等。

1》abc面积=120*80/2=480 ，若HG是中位线，那么△AHG的面积比△ABC的面积=1：4
推出：480/4=120,种草的面积=120，由于HG为中位线，那么EF=HG，BC长度-HG长度就是整个种花面积的底：120-60=60 ；推出：60*H/2=120 所以H=40

2》设矩形长宽EF X GF Y
先列出面积公式：480=(120-y)*X/2+(80-x)y/2+XY 这一部是将3个面积分别相加 等于总面积480
经过计算得出：3X+2Y=24

然后把上面每个面积前面分别乘以对应的价格，按顺序就是10 6 4 ，这里我就不列式子了。
算的话·你自己算吧··这个很通俗了

Answer 3

（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米
由△AHG∽△ABCBC=120，AD=80可得：
∴
BE+FC=120－ = ……2分
∴ 解得x=40
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。……………………5分
（2）设改造后的总投资为W元
W=
=6(x－20)2+26400
∴当x=20时,W最小=36400
答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。
…………………………………………………………………………………………8分

Answer 4

1、（1）设FG=x米，则AK=(80－x)米

由△AHG∽△ABCBC=120，AD=80可得：

∴

BE+FC=120－= </FORMULAS /></SHAPETYPE /></SHAPE />

∴

解得x=40
∴当FG的长为40米时，种草的面积和种花的面积相等。

（2）设改造后的总投资为W元

W=

=6(x－20)2+26400

∴当x=20时,W最小=36400

答:当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元。

Answer 5

记FG/AD=x(0<=x<=1)，于是：
S△BHE/S△ABD=(HE/AD)^2=(FG/AD)^2=x^2 ....(a)
S△GFC/S△ACD=(FG/AD)^2=x^2 ....(b)
由(a)、(b)两式可知：S△BHE+S△GFC=(x^2)*S△ABD+(x^2)*S△ACD=(x^2)*S△ABC ...(c)
S△AHG/S△ABC=(AG/AC)^2=[1-(CG/AC)]^2=[1-(FG/AD)]^2=(1-x)^2 ...(d)
S四边形EFGH/S△ABC=1-[(S△BHE+S△GFC+S△AHG)/S△ABD]=2*(x-x^2) ...(e)

问题一：
由题意，S△AHG=S△BHE+S△GFC，即(1-x)^2=x^2，解得x=1/2，即FG=(1/2)*AD=40米

问题二：
空地改造投资费用总和Sum=
6*S△AHG+10*(S△BHE+S△GFC)+4*S四边形EFGH=
[6*(1-x)^2+10*x^2+8*(x-x^2)]*S△ABC=
[8*x^2-4*x+6]*S△ABC

显然二次函数y=8*x^2-4*x+6在x=1/4，即FG=20米时，y取最小值11/2，这个时候的投资费用总和为(11/2)*(1/2)*120*80=26400元本回答被提问者采纳