小希在知乎上首次分享了这个数学瑰宝——比内-柯西公式,它以简洁的形式揭示了矩阵乘积的秘密。公式表述为:
形式之美|AB| = Σ(s阶子式A×B),其中s≤n
这个看似复杂的公式,实则将不规则矩阵乘积的计算简化为规则矩阵的和,展现了数学的优雅与力量。
证明的艺术
当矩阵乘积的阶数s大于矩阵的阶数n时,|AB|的值为零,因为非满秩性决定了其行列式的值为零。而当s≤n,通过精心的分块初等行变换,我们可以一步步证明其有效性。
经典应用
在行列式估计中,比内-柯西公式的应用无比广泛,如Hadamard不等式,它不仅用于确定矩阵的上界,其证明过程还牵涉到Cauchy-Bunyakovsky公式,展示了数学的相互渗透。
通过子矩阵的视角,行列式的不等式得以揭示,取等条件是子空间的正交补性,这个性质同样适用于行矩阵,展示了比内-柯西公式的普适性。
哈达玛的致敬 - 在连续使用中,哈达玛不等式中的等号成立条件,令人惊奇地与列向量的正交性相契合。
最后,总结来说,比内-柯西公式为我们提供了一把钥匙,通过正定对称矩阵来精确估计行列式,这是数学世界里一次深刻的洞察。