初中数学竞赛题（一）

Question

1.x是大于0的实数，已知存在唯一的实数k，使关于x的方程x^2+(k^2+ak)x+1999+k^2+ak=0的两根均为质数，求a的值。

2.已知a,b,c为正整数，抛物线y=ax^2+bx+c与x轴有两个不同的交点，且它们到原点的距离都小于一，求a+b+c的最小值。

请简要写出解答过程，谢谢！

Answer 1

(1)设两根为x,y，由韦达定理，x+y=-k^2-ak,xy=1999+k^2+ak=1999-x-y,移项得x(y+1)+y+1=(x+1)(y+1)=2000,
所以x+1=1,y+1=2000;x+1=2,y+1=1000;x+1=4,y+1=500;x+1=5,y+1=400;x+1=8,
y+1=250;x+1=10,y+1=200;x+1=16,y+1=125;x+1=20,y+1=100;x+1=25,y+1=80;
x+1=40,y+1=50(本来20种，但x、y顺序互换无影响故省去)
又因为x、y为质数，所以只有x=3,y=499所以k^2+ak+1497=0
又因为k是唯一的，所以△=a^2-4*1497=0,a=2√1497
(2)设两根为x，y，因为-1＜x＜1,-1＜y＜1,所以-2＜x+y＜2,
(x+1)(y+1)＞0,(x-1)(y-1)＞0,所以b＜2a,b＜a+c且b^2-4ac＞0
所以a＞c
又因为b^2至少为9（等于4的话a=c=1了）所以此时b=3,a至少为2，c至少为1
但因为b=a+c,所以舍去；a为3时，c至少为1，此时a+b+c的最小值为7
当b=4时，a至少为3，a+b+c必定大于7
故a+b+c的最小值为7
写得真辛苦哎。。

Answer 2

答案：
1. 2√502
2. 11

注：第2题是1989年全国联赛题改编的。

解答：
1.设x^2+(k^2+ak)x+1999+k^2+ak=0的两根为x1,x2;那么x1+x2=-(k^2+ak),x1x2=1999+k^2+ak,所以x1x2+x1+x2+1=2000,即（x1+1)(x2+1)=2000;又由x1,x2均为质数,故两根只能为x1=3,x2=499;所以k^2+ak=-（x1+x2)=-502,即k^2+ak+502=0；由实数k唯一，所以a^2=2008,a=√2008=2√502.

2.由有两个不同的交点得到b^2>4ac,由到原点的距离都小于1及a>0，得到在x=1和-1时，y>0;即a+b+c>0, a-b+c>0,所以a+c>b,于是有a+c>b>√4ac=2√a√c,而a,b,c为正整数，故a+c>=1+b>1+2√a√c,所以（√a-√c)^2>1,不妨设a>c（a<c同理），而c最小为1，所以a最小为5，而6>=1+b>1+2√5,所以b最小也为5；所以a+b+c的最小值为5+5+1=11