设三阶实对称矩阵a的特征值为123

Question

设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=1,λ2=2,λ3=3,属于特征值λ1和λ2的特征向量分别为α1=（-1,-1,1）^T,α2=(1,-2,-1)^T
求（1）A的属于特征值λ3的特征向量
（2）求出A

Answer 1

解题过程如下：

搞好数学的方法：

1、数学跟其他学科一样，也是有很多概念性的东西，学好数学的基础就是明白定义到底说的是什么。

比如数学中的平方，立方，绝对值的含义。我们知道平方就是两个相同的数相乘，当然立方就是三个相同的数相乘，绝对值就是大于或者等于0的数值，明白了定义的真正含义，也就走出了第一步，为后面的学习打下了坚实的基础。

2、数学跟其他学科不同之处就是不需要死记硬背，因为数学不考试问答题，而是计算这是最大的不同。怎么实践呢，具体的说一下。

数学常用的解决技巧：

1、配方法。

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 

2、因式分解法。

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。

因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多，除课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

Answer 2

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量彼此正交
所以A的属于特征值λ3的特征向量α3与α1,α2正交
即满足 -x1-x2+x3 = 0
x1-2x2-x3= 0
解得基础解系:α3=(1,0,1)'
所以A的属于特征值λ3的特征向量为 kα3,k为非零常数,
令P=(α1,α2,α3)=
-1 1 1
-1 -2 0
1 -1 1
则 P^-1AP=diag(1,2,3)
所以有 A=Pdiag(1,2,3)P^-1 =
13/6 -1/3 5/6
-1/3 5/3 1/3
5/6 1/3 13/6