高等数学 等价无穷小替换问题

Question

我刚进大学一个礼拜，觉得最吃力的就是高等数学了。我数学真的比较差，但我很努力，经常比别人付出的更多来弥补，所以成绩也不会太差。
昨天，高数上到“等价无穷小的比较”这里。其中有个知识点，就是等价无穷小的替换问题，当时我完全听蒙了，都不会，听不懂，今天回到家赶紧翻书自学。总算有点领悟，自己总结了一下，希望大哥哥，大姐姐帮帮忙，看看我理解的对不对。

1.等价无穷小的替换一般发生在计算两个无穷小的比值的极限（或者说是两个无穷小极限值之比）时。
2.等价无穷小在是乘除时可以替换，加减时不可替换。（对于这个，网上是这么说的，下面我想说说自己的理解，请大家说说对不对）：在计算等价无穷小之比的极限时，理论上要替换，是要替换掉分子上的无穷小（整个式子），或者分母上的无穷小（整个式子），这时其实是将整个分子或分母当作一个无穷小。而如果分子或分母上的无穷小不是由一个因式（如单单一个SIN X,或tan X）构成的，而是由多个因式通过相乘除或相加减构成的，如 ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x 。那么可以找一个与ln（1+x）* x 或 ln（1+x）+ x 的等价无穷小量来替换他。
因为ln（1+x）*X 这个无穷小是由两个因式 想乘而成的，所以替换掉其中一个ln（1+x）为 x，之后形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等价无穷小，所以可以替换。而ln（1+x）+ x ，因为其是由两个因式相加而形成的无穷小量，所以如果替换掉ln（1+x）为X，而形成的2X不是ln（1+x）+ x的等价无穷小，所以也就不能替换。
总的来说，就是等价无穷小替换的是整个分子或分母形成的无穷小量，而恰好因式相乘除的无穷小量替换掉其中的一个或多个因子后形成的式子正好是原本整个分子或分母无穷小量的等价无穷小，所以可以替换。而因式相加减的无穷小量，替换掉其中的因式后，形成的整个式子不是原本那个无穷小量的等价无穷小，所以也就不能替换了。
这是不是就是乘除的时候可以替换而加减不能替换的原因啊？
请大哥哥大姐姐帮帮忙吧，我很困惑，我花了很久才理解成这样的，不知道这样理解对不对？

Answer 1

1、“等价无穷小的替换一般发生在计算两个无穷小的比值的极限（或者说是两个无穷小极限值之比）时”。

[评析] 完全正确！

2、“等价无穷小在是乘除时可以替换，加减时不可替换”。

[评析] 不完全对！
如果只是无穷小之间的加加减减时，结果一定还是无穷小，完全可以替代。
如果加减时，还涉及到其他运算，则不能一概而论。

只要是等价无穷小，都可以替换。

3、“在计算等价无穷小之比的极限时，理论上要替换，是要替换掉分子上的无穷小（整个式子），或者分母上的无穷小（整个式子），这时其实是将整个分子或分母当作一个无穷小”。

[评析]：完全正确！

4、“而如果分子或分母上的无穷小不是由一个因式（如单单一个SIN X,或tan X）构成的，而是由多个因式通过相乘除或相加减构成的，如 ln（1+x）* x 和ln（1+x）+ x 。那么可以找一个与ln（1+x）* x 或 ln（1+x）+ x 的等价无穷小量来替换他。
因为ln（1+x）*X 这个无穷小是由两个因式 想乘而成的，所以替换掉其中一个ln（1+x）为 x，之后形成的x^2 就是ln（1+x）* x的 等价无穷小，所以可以替换。而ln（1+x）+ x ，因为其是由两个因式相加而形成的无穷小量，所以如果替换掉ln（1+x）为X，而形成的2X不是ln（1+x）+ x的等价无穷小，所以也就不能替换”。

[评析]：楼主被网上误导了！
x 与 ln(1+x） 是同价无穷小
x^2 与 x*ln(1+x) 仍然是同价无穷小 。
2x 与〔x + ln(1+x)〕也是同价无穷小。

楼主后面受网上误导不浅。赶紧纠正。

Answer 2

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。
如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。
f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：
f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！
问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，
所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。

但是如果碰到ln(1+x)-x，那么
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，
此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。
碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：
ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
那么
ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)
这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。

从上面的例子就可以看出来，余项很重要，不能直接扔掉，因为余项当中包含了一定的信息。而且只要保留余项，那么所做的就是恒等变换(注意上面我写的都是等式)而不是近似，这种方法永远是可行的，即使得到不定型也不可能得出错误的结论。等你学过带余项的Taylor公式之后对这一点就会有更好的认识。

Answer 3

楼主是不是数学系的？如果不是，你没必要去理解为什么“加减形式不能用等价无穷小”的原因。当然如果有这个能力，钻研一下也无妨。我做极限题最喜欢用等价无穷小啦！

你在2中的理解完全正确。

有些加减形式如A+B，可以通过变换成为C(D+E)等，这时C也能用等价无穷小替换。还有就是可以构造一个等价无穷小的，如果当X--->0，limg(x)/f(x) = 1，无论g(x)是否乘除形式，则g(x)～f(x)，不过这不常用。