第一篇：探索横截面数据的回归分析之旅
在计量经济学的第二章中，我们踏入了简单回归模型的世界，那里是非随机变量与随机变量之间关系的神秘领域。我们先从简单的线性回归说起，它犹如一把解开函数关系的钥匙，无论是研究诸如π与半径平方的数学规律（S = πr²），还是关注产量如何受温度、降水、日照和肥料等变量的影响（产量=f(温度,降水,日照,肥料)），回归分析都为我们揭示了潜在的因果联系。
相关分析与回归分析如同两面镜子，前者展示了所有统计关系的概貌，后者则强调因果关系的重要性。简单线性回归模型正是这种双变量的精妙构造，它探讨了解释变量与随机误差项之间微妙的联系。其中，误差项u的关键假设是条件期望为零，这个假定帮助我们理解β1的深层含义——它描绘了在给定x的情况下，y的期望值如何随x变化，而u则是观察值与期望值之间的偏差，围绕着E(y|x)的中心分布。
通过样本回归，我们试图从有限的数据中推测总体的参数，运用普通最小二乘法（OLS）来估计。OLS基于零条件均值假定和x与u不相关的假设，计算斜率参数的公式背后，是矩估计和一阶条件的巧妙结合。相关系数如同信号灯，指示着正负相关性的强度。尽管R2（判定系数）看似完美，它衡量的是y被x解释的百分比，但并非越大越好。低R2可能揭示出隐藏的解释力，关键在于理解模型的适用场景。
当样本数据庞大或变量众多时，过度拟合的风险也随之而来。例如，在教育-工资模型中，每增加一年教育年限，工资大约上涨0.31美元，然而，教育回报的递增性意味着增长百分比保持稳定。对数回归，如CEO薪水与销售额的关系，其弹性不受度量单位影响，这正是OLS估计的精妙之处。然而，无偏估计的前提——随机抽样、解释变量独立于随机误差等假设，至关重要。当这些假定不成立时，OLS估计可能产生偏差，标准误SER虽非无偏但是一致的，其变化性反映了随机性。
回归分析的精度选择需要权衡，我们关注的是估计的可靠性和稳定性。在误差同方差的假设下，OLS估计的方差由可观测和不可观测部分组成，误差方差大时，估计变得复杂。好在，我们可以利用残差来估计误差方差，定理2.3为我们提供了σ2的无偏估计。尽管OLS的标准误SER并非无偏，但其一致性使其在统计实践中依然重要。这一切都建立在高斯-马尔科夫假定的基础上，它为我们揭示了回归分析的理论基础。