一个数除于7余1，除于8余7，除于9余3，问这个数最小是多少？（要求解过程）

Question

能不能用方程来计算呀？怎么算？

Answer 1

这个是中国历史上著名的韩信点兵问题，也叫孙子问题(物不知数)。
固定的解法是这样的：

【题】
一个数除于7余1，除于8余7，除于9余3，问这个数最小是多少？

【解】
先随便求一个能被7和8整除且除以9余3的数。有固定的方法：
56m-9n=3
（计算前要先把式子两边约一下，这时候没有公因子，不用约）
两个系数56和9，56大，就让56除以9，商6余2，于是
可以化简为(6*9+2)m-9n=3，2m-9(n-6m)=3，令k=n-6m，有
2m-9k=3
两个系数2和9，9大，9除以2商4余1，于是
又可以同样化简2m-(4*2+1)k=3，2(m-4k)-k=3，令i=m-4k，有
2i-k=3
这时候，有一个系数是1，遇到系数是1的时候，要留一个1，即2=1*1+1，而不是2=2*1+0。同样令j=k-i，有
i-j=3
这时候，两边系数都是1，就不能化简了，令j=0，有i=3
代回去，算出k=j+i=3，m=i+4k=15
令a=56m=840，则7|a,8|a,且a除以9余3。

按照同样的方法，找到：
b=3087，7|b,9|b,且b除以8余7
c=288，8|c,9|c,且c除以7余1

然后把三个数加起来
a+b+c=4215，显然这个数满足被7除余1，被8除余7，被9除余3，但不一定是最小

7,8,9三个数的最小公倍数（有固定的算法）是7*8*9=504

然后用4215除以504，商8余183

183就是结果。

PS: 以上解法是固定的算法，对于任意大的数字均可以用该算法求解，不需要试探和猜测。其中求最小公倍数也有固定的算法，即用辗转相除法求得最大公约数间接求得。

Answer 2

除以7余1的数最小是8，如果在8的基础上加7，仍旧符合除以7余1的条件，所以在8的基础上连续加7，使得到的数能符合除以8余7：
8、15、22、……
发现其中最小的是15符合条件。
如果在15的基础上加上7与8的最小公倍数56，那么这个数仍旧符合前两个条件，即除以7余1，除以8余7，所以在15的基础上连续加上56，使得到的数能符合除以9余3：
15、71、127、183、239、……
发现183除以9余3，得解。

如果在183的基础上继续加7、8、9的最小公倍数，所得的数都符合这三个条件，因为所求是最小的，所以这个数是183。

Answer 3

设这个整数为x，根据条件有
x=7a+1
x=8b+7
x=9c+3
可以得到8b+6=7a,9c+2=7a，
可以知道b=7k+1时，c=7m+6时候上述两式成立（这一步试几个数就知道了），把b，c代入上述两式可以得到
56k=63m+42,得到满足该式子的最小k=3，最小m=2。（很容易得到的）
所以最小的b=7*3+1=22，所以所求的x=8*22+7=183

Answer 4

我算了下
除7余1的是8的倍数
除8余7是15的倍数
除9余3是12的倍数
所以我认为就是求 8 15 12的公倍数
答案：120

Answer 5

同意二楼的答案！迟来了一步，呵呵！

Answer 6

这些方法都很好，值得收藏