构造一个含15度的直角三角形，求15度的三种三角函数

Question

如题所述

Answer 1

这个是我刚刚做的简图，我没有太多时间画图，所以只做了一个，另外的几种方法我简单说一下吧。

这个图里面我是先画了一个30度60度的直角三角形，然后延长60度对边，延长的长度等于斜边长，然后连接就得到15度三角形了，15度是因为30度作为了新构成的三角形的外角，几个边的长度都是知道的，可以直接应用三角函数的定义求得三角函数，数值分别是

sin15°=sin(60°-45°)=sin60°cos45°-cos60°sin45°=√6/4-√2/4=(√6-√2)/4

cos15°=√(1-sin15°的平方)=(√6+√2)/4

第二种方法是画一个45度的等腰直角三角形，然后在一一个腰为边做一个30度角的三角形，只要做出30度角就可以了，你做出的这个30度角的边与直角三角形的斜边成的角度就是15度，同样做60度三角形，在里面做出45度角也能够得到15度角，然后在做一个垂直得到一个直角就能得到含15度的直角三角形了

第三种方法是做一个30度60度三角形ABC，C为直角，A30B60，然后做斜边中垂线交AC于D，连BD，做DE∥AB交BC于E，连AE，∠CAE=15°，这个也很容易计算出来

如果计算三角函数就有很多种算法了，可以用万能公式，诱导公式进行变形以后也可以得到结果

Answer 2

可完全用尺规作图得到，如图所示。
1. 先做一个等边三角形abc；
2. 平分顶角a，得到30度的角dac；
3. 平分角dac，得到15度的角dae；
则三角形dae就是含15度的直角三角形。
设等边三角形边长为1，则cd=1/2, 由ae平分角dac产生的射影定理得到：
de:ce=ad:ac，即de/ce=sqrt(3)/2，进一步：de/(de+ce)=sqrt(3)/(2+sqrt(3))，所以：
de=sqrt(3)/(2+sqrt(3)) * (de+ce) =sqrt(3)-3/2. 又ad=sqrt(3)/2，勾股定理得ae=sqrt(3/2)*(sqrt(3)-1).
所以tan15=de/ad=(sqrt(3)-3/2)/(sqrt(3)/2)=2-sqrt(3).
sin15=de/ae=(sqrt(6)-sqrt(2))/4;
cos15=ad/ae=(sqrt(6)+sqrt(2))/4.

Answer 3

在△ABC中，∠B=90°，∠ACB=30°
延长BC到D，使CD=AC，连接AD
∴∠D=∠CAD=15°
设AB=1，则AC=2,BC=根号3，CD=2
∴BD=2+根号3
AD=根号6+根号2（用勾股算）
∴tan15°=AB/BD=2-根号3
sin15°=AB/AD=根号6-根号2/4
cos15°=BD/AD=根号6+根号2/4