矩阵的秩

Question

两个同型矩阵A,B.试证:两矩阵的秩的和不小于两矩阵的和的秩.
2搂的地址,我去看过了,大致和3楼一样,没证明吧,它是个定理

Answer 1

Answer 2

Answer 3

我们定义了矩阵，接下来考虑矩阵的运算，也即给出矩阵代数运算的定义。

一、 矩阵的加法

定义2 设有两个矩阵，那末矩阵A与B的和记作A+B，规定为

应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

矩阵加法满足下列运算规律(设A、B、C都是 矩阵)：

(i) A+B=B+A；

(ii) (A+B)+C=A+(B+C).

设矩阵 ，记

称为矩阵A的负矩阵，显然有

由此规定矩阵的减法为

二、 数与矩阵相乘

定义3 数与矩阵A的乘积记作 或 ，规定为

数乘矩阵满足下列运算规律(设A、B为 矩阵， 为数)。

(i)

(ii)

(iii)

矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算。

三、 矩阵与矩阵相乘

设有两个线性变换

(3)

(4)

若想求出从 到 的线性变换，可将(4)代入(3)，便得

(5)

线性变换(5)可看成是先作线性变换(4)再作线性变换(3)的结果。我们把线性变换(5)叫做线性变换(3)与(4)的乘积，相应地把(5)所对应的矩阵定义为(3)与(4)所对应的矩阵的乘积，即

一般地，我们有

定义4 设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个 矩阵，其中

(6)

并把此乘积记作

按此定义，一个 行矩阵与一个 列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数：

由此表明乘积矩阵 的 元就是A的第i行与B的第j列的乘积。

必须注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵) 的行数时，两个矩阵才能相乘。

例4 求矩阵与 的乘积AB.

解 因为A是 矩阵，B是 矩阵，A的列数等于B的行数，所以矩阵A与B可以相乘，其乘积 是一个 矩阵。按公式(6)有

例5 求矩阵 与 的乘积AB及BA。
解 按公式(6)，有

在例4中，A是 矩阵，B是 矩阵，乘积AB有意义而BA却没有意义。由此可知，在矩阵的乘法中必须注意矩阵相乘的顺序。AB是A左乘B(B被A左乘)的乘积，BA是A右乘B的乘积，AB有意义时，BA可以没有意义。又若A是 矩阵，B是 矩阵，则AB与BA都有意义，但AB是m阶方阵，BA是n阶方阵，当 时 。即使 ，即A、B是同阶方阵，如例5，A与B都是2阶方阵，从而AB与BA也都是2阶方阵，但AB与BA仍然可以不相等。总之，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下， 。

例5还表明，矩阵 ，但却有 。这就提醒同学们要特别注意：若有两个矩阵A、B满足 ，不能得出 或 的结论；若 而 ，也不能得出的结论。

(i) ；

(ii) （其中 为数）；

(iii) ，

对于单位矩阵E，容易验证

或简写成

可见单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1。
有了矩阵的乘法，就可以定义矩阵的幂。设A是n阶方阵，定义

其中k为正整数。这就是说，就是k个A连乘。显然只有方阵，它的幂才有意义。
由于矩阵乘法适合结合律，所以矩阵的幂满足以下运算规律：

其中k、l为正整数。又因矩阵乘法一般不满足交换律，所以对于两个n阶矩阵A与B，一般说来 。

上节例3中的线性变换利用矩阵的乘法，可记作

其中

这里，列向量(列矩阵)X表示n个变量 ，列向量Y表示m个变量 。线性变换(2)把X变成Y，相当于用矩阵A去左乘X得到Y。

用矩阵 去左乘向量 ，相当于把向量 投影到X轴上。
用矩阵 左乘向量 ，相当于把向量OP旋转 角。进一步还可推知，以 左乘向量OP，应把向量OP旋转n个角，即旋转 角，而旋转角所对应的矩阵为 。

例6 证明

从前段说明已能推知本例的结论，下面按矩阵幂的定义来证明此结论。

证 用数学归纳法。当 时，等式显然成立。设 时成立，即设

要证 时成立。此时有

于是等式得证。

四、矩阵的转置

定义5 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记作。

例如 矩阵

的转置矩阵为

矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算规律(假设运算都是可行的)：

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

这里仅证明(iv)。设 ， ，记 ， 。于是按公式(6)，有

而 的第i行为 ， 的第j列为 ，因此

所以

，

即 ，亦即

例7 已知 求
解法1 因为

所以
解法2

设A为n阶方阵，如果满足 ，即

那末A称为对称矩阵。对称矩阵的特点是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。

例8 设列矩阵 满足 ，E为n阶单位矩阵， ，证明H是对称矩阵，且

证明前先提醒同学们注意： 是一阶方阵，也就是一个数，而 是n阶方阵。

证

所以H是对称矩阵

五、方阵的行列式

定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵A的行列式，记作 或detA。

应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是 个数按一定方式排成的数表，而n阶行列式则是这些数(也就是数表A)按一定的运算法则所确定的一个数。

由A确定 的这个运算满足下述运算规律(设A，B为n阶方阵，为数)：

(i) (行列式性质1)；

(ii)

(iii)

我们仅证明(iii)。设 ， ，记2n阶行列式

由第一章例10可知 ，而在D中以乘第1列，乘第2列，…，乘第n列，都加到第n+j列上 ，有

其中 ，

故

再对D的行作 ，有

从而按第一章例10有

于是 证毕

由(iii)可知，对于n阶矩阵A、B，一般说来 ，但总有

例9 行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵

称为矩阵A的伴随矩阵。试证

证 设 ，记 ，则

故

类似有

六、共轭矩阵

当 为复矩阵时，用表示的共轭复数，记

称为A的共轭矩阵。

共轭矩阵满足下述运算规律(设A，B为复矩阵，为复数，且运算都是可行的)：

(i)

(ii)

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