【高数】求幂级数的和函数：Σn=1->无穷 n(n+1)x^n

Question

我是这样算的
S(x)=Σn=1->无穷 n(n+1)x^n
两边取积分
右边=Σn=1->无穷 nx^(n+1)=x^2*(Σn=0->无穷 nx^(n-1))
令S1(x)=Σn=1->无穷 nx^(n-1)
两边取积分
右边=Σn=1->无穷 x^n=x/(1-x)
故S1(x)=(x/(1-x))'=1/(1-x)^2
S(x)=(x^2*S1(x))'=(x^2/(1-x)^2)'=2x/(1-x)^3
但答案是2/(1-x)^3，我这么多了个x?

Answer 1

你的答案是正确的。

为此我用自己的方法做了一遍：

那么下面验证答案为什么是错的：

当x→0时，答案→2

而我们的答案→0

而这是典型的幂级数相加，（非调和级数这种），当x→0时当然S(x)→0

所以答案是错误的。

Answer 2

设 x 和y 代表任何不为0 的实数
x^y = x^y
x^y/x^y = 1
根据幂运算的性质 （例如 a^m/a^n = a^(m-n)
x^y/x^y
= x^(y-y)
= x^0

因此 x^0 = 1

可以看到 x^0 = x^y/x^y
而0 的任何次方都为0。如果 0^0 有意义，那就相当于 分母上的 x^y = 0。即 0 成为0 除数。而0是不能做除数的。

Answer 3

因为零等于（NN）次的功率，和一个在（NN）也等于n次方由n的功率除以功率，结果是等于1起来。 （A不等于0）。初中课本是这样推我记得很清楚