金榜小班：张老师 数学高级教师，上海高中数学名师，张老师是著名的数学培优型教师，张老师长期在重点中学一线从事数学教学和竞赛辅导工作，他对高中数学教学有坚实的理论基础和丰富的实践经验，他在教学中注重学生数学思维的培养及能力的提高，激发学生的求知欲，张老师在数学课堂上把高中数学的难点，考点讲的清晰透彻。张老师的每节数学课都是经过精心设计科学编排的，他的系列辅导课涵盖了所有的高中数学知识点，包含了高考中要用到的所有的数学思想方法和解题技巧，难度深度循序渐进，学生数学考试成绩提高显著，教学效果极佳。张老师还负责数学竞赛的辅导工作，所辅导学生参加全国数学联赛有着辉煌的成绩。他应邀参加了在上海华东师范大学召开的第二届全国数学奥林匹克研讨会 ，先后在《高考研究》，《招生通讯》等刊物上发表研究性文章多篇。得到数学同行的一致认可。
高中数学竞赛常用的解题思维
由高中数学竞赛题的特点可知，在解答高中数学竞赛题的时候，题目所给的条件和结论不总是直接提供可用的信息，这就需要对条件和结论所提供的信息进行转化分析。分析的同时也在寻找解题方法，而解题方法的选择是思维方式变换的结果，所以解题的思维具有变换性，下面介绍在高中数学竞赛解题中常用的四种思维：
局部思维
有很多数学题是在整体上表现出一些性质特征，但是如果从整体着手进行思考又很难找到思路。这时，我们可以先考虑问题的局部，“局部提示整体”。通过对局部的思维来找到解题的途径，也可以对问题局部进行调整来发现问题所隐含条件，通过对局部的解决而解答整个问题。由于局部思维起来比整体考虑简单，因而它常常使问题化难为易。在运用局部思维策略时经常采用局部调整和分解成局部两种途径。
1.局部调整
局部调整就是通过分析条件与结论之间的异同，对组成问题整体的各个部分不断地进行调整，从而不断地减小问题初始状态与目标状态的差异，并在此基础
上逐步加强要求，逼近目标，直至达到所需要的最终状态。
用调整策略解题要注意以下几个基本点：
(1)问题存在的状态是有限的；
(2)调整的目标是最终状态，最终状态是存在的，例如求最值，其存在是前提；
(3)调整的过程是针对局部进行调整达到整体目标。
2.分解成局部
对复杂的综合性题目，常常不能直接地进行求解，这时可以将问题分成若干个部分，通过对每一个局部的问题解决来解决整个问题。其实这也是问题转化的
思维策略，将原问题转化为几个能解决的问题。在对各个局部问题解决时，要处理好它们之间的关系，局部之间可能是各自独立的，也可能是层层递进的，这就需要认真地解析问题，以保证解题思维方向的正确性。
整体思维
整体思维策略就是在研究数学问题时，根据需要暂且避开局部细节或单个元素的干扰，从整体上把握问题的特点，以明确解题的思路，找到解题方法的策略。
整体策略是一种较高级的思维活动，它具有思维的简缩性和跳跃性，能提高解题的速度和准确性。在运用整体策略时，尽管从整体上观察问题特点、处理问题，但是也要注意局部之间的联系。运用整体思维策略可以从问题或结论的整体性考虑，也可以抓住整体的不变性，从整体特征上解决问题。
例 .
国会每个议员至多有三个政敌，证明：可以把他们分在两个房间中，使每个议员在他的所在房间中至多有一个敌人。
分析与解：当读到这个题时，似乎应对每个议员都加以考虑，对他们进行分配使之满足条件。可题中未给出议员总数，也即告诉我们上述方法行不通，这就
需要调整思维的方向。通过重新分析问题从整体上思维可知，对于两个房间内的政敌总数 H，当满足题设的分配出现时，H 必达到最小，只要研究使 H 减小的方法即可。开始时把每个议员任意分到两个房间中，设 H 是每个议员在他所在房间政敌数目总和。假设 A 在其房间内至少有 2 个政敌，则在另一房间至多有一个敌人，现把 A 转至另一房间，则 H 数目减少 2 个，而 H 不可能一直减小，某时刻即要达到最小值，这时就达到所要的分配。
逆向思维
逆向思维是指背离原来的认识并在相对立的意义上去探索新的发展可能性的思维。习惯使人们在思考问题时容易形成定向思维，在解题时大多是从条件出发，借助于一些数学思想方法，进行正面地、顺向地思考。然而，有些题目从正面考虑是很难或不能攻破的，这就需要打破思维定势，根据问题进行灵活地思维，可采取逆向思维策略。事物常常是互为因果的，具有双向性和可逆性的特征。当从正面思考难以解决时，可考虑转向反面思考；当一个命题直接探索解决困难
时，可以去间接探索；探索问题可能性不能奏效时，可考虑其不可能性，……总之，这一思维策略要求考虑与常规思维方向相反的探索方式，转向问题的反面来求解，在思维的方向上主要表现为顺难则逆、直难则曲、正难则反。
例 .给定无理数 a、b，证明：满足方程 ∣3x + ay+1∣+∣ax－y +3a ∣=b 的整数解 x，y 至多只有一组。
分析与解：首先从整体上来考虑所要求解的方程，如果 b0 的情况。题中所给方程为一个含有绝对值的不定方程，
若从正面入手直接去证明方程的整数解的组数比较困难，很难找到思路。当思维受阻的时候，我们不妨换个方向来考虑问题。对于这个题而言，不妨从它的反面情况着手，如果能说明没有两组整数适合方程，那么问题就得证。于是可设有两组整数都满足题设方程，则把这两组整数代入方程得到绝对值的和应该是相等的，去掉绝对值符号化简以后，会发现这两组整数是相同的，于是问题就解决了。
转化思维
转化是一种变异性思维，指的是在解题过程中不断改变解题方向，从不同的角度、不同的侧面探讨问题的解法，在分析解题时，能把握问题的特点和解题中
出现的具体情况“随机应变”调整解题思路[1]。转化策略是高中数学竞赛解题中的使用最多的思维策略，特别是开放性和研究性的高中数学竞赛题，其知识覆盖面大，一般为难度较大的综合题，在解题时不仅要深入地思考还需要从不同的角度多方位地思考，不然很难找到解题的思路。当很难直接或正面找到有效的解题途径时转而从侧面或反面对问题进行突破，把所要解决的问题转化成自己熟悉或能解决的问题，这就是转化思维。
问题转化涉及三个基本的要素：问题转化的对象、目标和方法。对象是我们面临的有待解决的未知问题，目标为我们熟悉或能解决的问题，方法就是数学的思想方法。在进行问题转化时目标和方法都是待定的，由于问题所给的条件和结论不同，转化的角度也不同。所以在运用这一思维策略解题时，思维的变换没有固定的模式，应具体问题具体分析。一般而言，转化思维策略处理问题有三个主要的环节：(1)变化问题的已知条件或结论；(2)变化问题的形式，如化立
体几何为平面几何，化高维为低维；(3)分解与组合，引入辅助元素。在解题中运用转化策略，可以采取以下几种方式对问题进行转化。
1.通过类比联想进行转化
数学知识之间存在着各种不同的关系，因此在数学习题之间也必然存在这样或那样的联系。在解题时，可以根据问题的具体情况抓住这些联系，通过类比和
联想来探求问题转化的思路。观察待解决问题的条件和结论，把需要求解的问题与以前已经解决的问题或熟悉的问题进行比较，从具有类似和相似特点的数、式、图形以及相近内容与性质等方面展开联想，进而把新问题的求解转化为对已掌握的旧问题的解决，在解决旧问题方法的启发下，打开新问题的解题思路。
2.通过分解与组合转化
高中数学竞赛一些题目的结构非常复杂，很难发现题目中所隐藏的条件和结论之间的关系，对于这样的数学问题就需要采取分解和组合来化难为易，以认清题目中的关系。“分解与组合是重要的智力活动”。对于很多问题特别是比较困难的问题，我们有必要把问题按照需要分解转化成一些有逻辑关系的、简单或熟悉的易于求解的小问题，以搞清楚待解决问题中的各种制约关系。在求得所分解开的部分解的基础上，再进行组合引起待解决问题关系结构的重新搭配，从而使原来的问题明了或得以解决。
3.一般与特殊之间转化
从一般到特殊和从特殊到一般是两个相互联系的认识过程。在高中数学竞赛解题中，一般和特殊互相转化是经常运用的思维策略。解题思维具有层次性的特
点，在解题过程中，思维在对已有知识理解的基础上层层深入，直至问题解决。因而，为了解决问题，有的时候需要利用问题的特殊性质推导出一般性的结论，同样有时也要用一般的性质来解决特殊性的问题。
(1) 一般化
当考虑一个问题时，先考虑包含这个问题在内的一类一般的问题，这就是一般化。众所周知，一般化的问题结构和规律更容易把握。将待解决问题看成特殊
问题，通过对它的一般形式问题解决而得到原问题解的转化策略就是一般化策略。从问题的一般化进行思维的策略是解决问题的有效途径。
(2) 特殊化
相对与一般而言，特殊问题会显得简单、直观和具体，容易解决[1]。问题特殊情形与一般情形的解往往具有共性。其实，在特殊问题的解题过程中也常常孕
育着一般问题的解决。所以，当对有难度的一般性数学问题进行解决时，可以先解决问题的特殊情况，通过特殊情况的问题解决找到待解决问题的思路。
4.直观和简单化
高中数学竞赛题中常有一些抽象的概念或者不是很明确的解析式，使我们的解题思维难以前进。遇到这种情况时，可以进行信息转换，借助图形或列表等直观形象的东西来使问题里的一些关系简单、明了，以打开解题思路，找到解题途径。所谓具体化就是将比较抽象的问题，转化为比较具体或直观的问题，借助于直观形象思维来进行解决。
5.通过寻找辅助元素实现转化
有些高中数学竞赛题直接求解或证明往往不能把条件和结论很好地联系起来，计算起来也非常的繁琐。这时就需要根据题设条件和结论的关系，看是否能找一个辅助的问题或元素把条件和结论有机地联系起来，将复杂问题简单化，开辟解题的捷径。
从对每个思维的探讨使用中同学们可以看出，在高中数学竞赛解题过程中，解题的思维策略根据不同的题目、视不同情况而定，思维的方向在解题过程中也总是根据需要在不断地变换，在一个题目的解答中可能要采取和综合运用不同的策略。这就需要同学们在平时的解题中，养成好的思维习惯，加强思维能力的培养。
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