设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctan(x/3)，求： ⑴常数A,B； ⑵P{

Question

设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctan(x/3)，求：
⑴常数A,B；
⑵P{X≤0}, P{X>3};
⑶随机变量X的概率密度f(x).

Answer 1

解：(1)按照分布函数的定义，x→-∞时，F(x)=0，有A-B(π/2)=0、x→∞时，F(x)=1，有A+B(π/2)=1，解得A=1/2，B=1/π。∴F(x)=1/2+(1/π)arctan(x/3)。(2)P(x<0)=F(0)-F(-∞)=1/2，P(x>3)=F(∞)-F(3)=1-[1/2+(1/π)arctan(3/3)]=1/4。(3)f(x)=F'(x)=3/[π(x^2+9)]。供参考。