因式分解技巧 十字相乘法公式

Question

如题所述

Answer 1

二次三项式，十字相乘，因式分解，
窍门就是，结合分组分解法一同使用，
正如 x" + (a + b)x + ab = ( x + a )( x + b )
中间的一次项 mx = (a+b)x ，
首先一分为二，拆开变成 ax + bx ，
接下来把四个项，分两组提公因式，做起来就轻松多了；
Q 关键是一次项怎样一分为二，就由常数项的正负来决定，
一次项不变，只要常数项变成相反数，一次项就要改变一分为二的方式；

Q 如果常数项是正数，
一次项就是拆开两个绝对值比原来小的两个项；
就连完全平方的式子，这样做起来也会觉得更加可靠。
例如
x" + 10x + 25
= x" + 5x + 5x + 25
= x( x + 5 ) + 5( x + 5 )
= ( x + 5 )"
常数项都是 +25，一次项就都是分开 10=5+5，
x" - 10x + 25
= x" - 5x - 5x + 25
= x( x - 5 ) - 5( x - 5 )
= ( x - 5 )"

类似的常数项为正数
x" + 10x + 24
= x" + 4x + 6x + 24
= x( x + 4 ) + 6( x + 4 )
= ( x + 4 )( x + 6 )
常数项都是 +24，一次项就都是分开 10=4+6，
x" - 10x + 24
= x" - 4x - 6x + 24
= x( x - 4 ) - 6( x - 4 )
= ( x - 4 )( x - 6 )

Q 如果常数项是负数，
一次项系数就是分开两个项的相差数；
x" + 10x - 24
= x" + 12x - 2x - 24
= x( x + 12 ) - 2( x + 12 )
= ( x - 2 )( x + 12 )
常数项都是 -24，一次项就都是分开 10=12-2，
x" - 10x - 24
= x" - 12x + 2x - 24
= x( x - 12 ) + 2( x - 12 )
= ( x + 2 )( x - 12 )

看到了吧，
一次项和常数项，绝对值都是 10x 和 24，
分解因式却有 4 种结果，会不会看得晕头转向呢？
怎么办？只要这样一步一步地写出来，就肯定不会出错了。
x" ± 5x ± 6
x" ± 10x ± 24
x" ± 15x ± 54
x" ± 20x ± 96
x" ± 25x ± 150
都是这样有 4 种结果，
使用这个分解因式的方法，
你自己也试一试吧。

只要熟悉这个方法，就连二次项系数不是 1 也同样方便，
例如
4x" - 31x - 45
对着 31，我们恐怕不知道怎样分开两项
可是看到 -45，我们都会想到 4X9=36，5X9=45，
那么
= 4x" - 36x + 5x - 45
= 4x( x - 9 ) + 5( x - 9 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )
或者
= 4x" + 5x - 36x - 45
= x( 4x + 5 ) - 9( 4x + 5 )
= ( x - 9 )( 4x + 5 )

Answer 2

x²+bx+c=（x+p）（x+q） 其中p+q=b，pq=c

把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫 作分解因式）。它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。分解因式与整式乘法互逆，同时也是解一元二次方程中因式分解法的重要步骤。
因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式，轮换对称多项式法，余式定理法，求根公式法，换元法，长除法，短除法，除法等。

注意四原则
1．分解要彻底（是否有公因式，是否可用公式）
2．最后结果只有小括号
3．最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=x(-3x+1））
4．最后结果每一项都为最简因式

Answer 3

十字相乘法的公式是: x^2+px+q=(x--a)(x--b) 其中 a+b=--p, ab=q.追问

没看懂

追答

那里没看懂啊?

追问

a+b=--p,

什么意思