已知数列{an},{bn}满足a1=2,b1=1,且an=3/4an-1+1/4bn-1+1,bn=1/4an-1+3/4bn-1(n大等于2）

Question

求：（1 令cn=an+bn,数列{cn}的通项公式
（2求数列{an}的通项公式及前n项和公式sn

Answer 1

1、cn=an+bn=3/4an-1+1/4bn-1+1+1/4an-1+3/4bn-1=an-1+bn-1+1
cn-1=an-1+bn-1=an-2+bn-2+1
则cn=n-1+a1+b1=n-1+3=n+2
2、an-bn=(an-1-bn-1)/2+1=((an-2-an-2)/2+1)/2+1=……=1+1/2+……+1/(2^(n-2))+(a1-b1)/2=2-1/(2^(n-2))
an=(an+bn+an-bn)/2=(n+2+2-1/(2^(n-2)))/2=(n+4-1/(2^(n-2)))/2
sn=((n+1)n/2+4n-(1/(2^(-1)+1/2^(0)+……1/2^(n-2))))/2=n(n+9)/4+(4-1/(2^(n-2)))/2=n(n+9)/4+2-1/(2^(n-3))
计算可能有错误，但按此思路是不错的

Answer 2

1.
a(n)=3/4*a(n-1)+1/4*b(n-1)+1
b(n)=1/4*a(n-1)+3/4*b(n-1)
两式相加得:
c(n)=a(n)+b(n)=a(n-1)+b(n-1)+1=c(n-1)+1
这是一个d=1的等差数列,首项为:
c(1)=a(1)+b(1)=2
所以通项公式是:c(n)=2+(n-1)*1=n+1