怎么理解高二的导数？

Question

如题所述

Answer 1

导数中档题是拿分点近几年导数的高考试题主要有下面几种类型：1.单调性问题研究函数的单调性问题是导数的一个主要应用，解决单调性、参数的范围等问题，需要解导函数不等式，这类问题常常涉及解含参数的不等式或含参数的不等式的恒成立、能成立、恰成立的求解。由于函数的表达式常常含有参数，所以在研究函数的单调性时要注意对参数的分类讨论和函数的定义域。2.极值问题求函数y=f(x)的极值时，要特别注意f'(x0)=0只是函数在x=x0有极值的必要条件，只有当f'(x0)=0且在xx0 时，f'(x0)异号，才是函数y=f(x)有极值的充要条件，此外，当函数在x=x0处没有导数时， 在 x=x0处也可能有极值，例如函数 f(x)=|x|在x=0时没有导数，但是，在x=0处，函数f(x)=|x|有极小值。还要注意的是， 函数在x=x0有极值，必须是x=x0是方程f'(x)=0的根，但不是二重根(或2k重根)，此外，在确定极值点时，要注意，由f'(x)=0所求的驻点是否在函数的定义域内。3.切线问题曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)，切线与曲线的综合，可以出现多种变化，在解题时，要抓住切线方程的建立，切线与曲线的位置关系展开推理，发展理性思维。关于切线方程问题有下列几点要注意：(1)求切线方程时，要注意直线在某点相切还是切线过某点，因此在求切线方程时，除明确指出某点是切点之外，一定要设出切点，再求切线方程；(2) 和曲线只有一个公共点的直线不一定是切线，反之，切线不一定和曲线只有一个公共点，因此，切线不一定在曲线的同侧，也可能有的切线穿过曲线；(3) 两条曲线的公切线有两种可能，一种是有公共切点，这类公切线的特点是在切点的函数值相等，导数值相等；另一种是没有公共切点，这类公切线的特点是分别求出两条曲线的各自切线，这两条切线重合。4.函数零点问题函数的零点即曲线与x轴的交点，零点的个数常常与函数的单调性与极值有关，解题时要用图像帮助思考，研究函数的极值点相对于x轴的位置，和函数的单调性。5.不等式的证明问题证明不等式f(x)≥g(x)在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值等于零；而证明不等式f(x)>g(x) 在区间D上成立，等价于函数f(x)-g(x)在区间D上的最小值大于零，或者证明f(x)min≥g(x)max、 f(x)min>g(x)max。因此不等式的证明问题可以转化为用导数求函数的极值或最大(小)值问题。一、导数在高考中的范围与要求解读高考考试大纲，是教师教学之前必须完成的事。对于不同层次要求的，我们在教学中应该采取不同的策略，珍惜我们的每一个教学单位，让它的效率达到最大值。
1、体会这一点：① 了解导数概念的实际背景。这一点是要求了解导数概念的实际背景，而不是导数的概念。所以在教学中，不要加深对导数概念的教学，只要求学生体会与曲线相交的直线逐渐变成曲线切线的过程，运动物体的平均速度变为瞬时速度的过程。对于参考资料上的与导数概念有关的题目不做研究，对于有数学潜力的学生可教他们有“配凑法”拭做就可以了。所以，导数的前两节课的重点是两个例子，学生能用语言叙述就可以了。
2、再看这一点：② 理解导数的几何意义。这一点的要求是“理解”，可见这一知识的重要性，教学时把精力放在这个知识点上。
让学生掌握：（1）函数在某一点的导数与导函数的区别与联系，学会准确表示。（2）导数的几何意义是：函数在某一点的导数就是函数在该点处的切线的斜率。（3）研究曲线的切线时，对点在曲线上与不在曲线上进行区分。如果点不在曲线上，则应该设出切点。要知道，没有切点是无法用导数的几何意义的。切点是问题的核心与关键。
3、对于（2）中的第1点，用导数的定义证明可以略讲（为了高考）。当然，如果你教的是重点高中，处理时有所不同。
4、关于导数的运算：公式有一常一幂两指两对两三角，法则有加减乘除与复合。运算时先明确是否为复合函数？注意函数之间的运算与复合是完全不同的。
5、应用与优化问题中：体会能与会，这是重点。
6、关于积分：都是了解，实际背景，基本思想，定积分概念在高考中一般不会考查。所以这一点中，只有微积分的基本定理是要求的，应该放在重要的位置去学习。

二、导数知识的教学内容与方法：
1、在学生的头脑中留下两个变化：割线变切线，平均速度变瞬时速度。
2、在写法上注意两个不同：原函数与导函数的不同，导函数与函数在某点上的导数值的不同。
3、求切线时区分两种不同情况：点在曲线上，点在曲线外
4、熟记八大公式，四大法则，一个复合。5、导数这个工具可以帮助我们研究原函数的单调性，极值，最值。应用最值可以帮助我们证明有关不等式，研究恒成立问题。
6、三次函数的图像特征共有四种情况，让学生把握到位7、体会积分四步曲；
8、微积分基本定理的教学关键是找到原函数

三、进一步优化导数的教学：
1、知识线索：几何意义--八个公式--运算法则--应用（单调性--极值--最值--不等式的证明）--定积分！
2、知识简化：（1）几何意义：以切点为中心，用导数做工具得切线的斜率，最后利用点在线上列方程求解未知数。
（2）八个公式：一常导为0，二幂要变形；两指e不变，底a乘lna；两对e倒数，底a除（以）lna；两三角对调，余导要变号。（3）ab积的导数等于a导b加b导a。两函数商的导数为商，分母是原分母的平方，分子是原分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数。(4)复合函数的求导是分层求导，而高考中只考查内函数为一次函数的情况。所以，只要求学生掌握一种情况就可以了。我们把一个基本初等函数的自变量换成一个一次函数之后就变成了一个内函数为一次函数的复合函数了。这个函数求导，就是对外函数求导，之后再乘以内函数一次项的系数就可以了。
3、自觉应用：一般来说，任何出题者都不可能告诉你该题目用导数或是积分来完成。所以，学生必须知道什么时候使用导数或是积分来解答，导数或是积分到底能帮助我们完成什么。（1）与切线有关的；（2）与单调有关的；（3）与极值有关的；（4）与最值有关的；（5）与不等式有关的；（6）与物理学中的速度或是加速度、变力做功或是变速物体动的路程；（7）与曲边梯形有关的。