34和51的最大公因数是：17。
1、我们需要理解什么是最大公因数。最大公因数，也称为最大公约数，是两个或多个整数共有约数中最大的一个。例如，12和18的最大公因数是6，因为6是12和18都能被整除的最大的数。
2、现在我们来求34和51的最大公因数。首先，我们需要找出34和51的所有因数。34的因数有：1，2，17，34和51的因数有1，3，17，51，我们找出这两组因数中的公共因数，即：1，17。在这些公共因数中，最大的一个就是34和51的最大公因数。
公因数的运用方法
1、公因数是数学中一个重要的概念，它指的是两个或多个整数共有的因数。公因数在数学和实际生活中都有着广泛的应用。是求解最大公因数和最小公倍数的基础。在数学中，求两个或多个整数的最大公因数和最小公倍数是常见的问题。
2、最大公因数是指两个或多个整数共有的最大因数，最小公倍数则是指两个或多个整数的最小的共同倍数。通过求取最大公因数和最小公倍数，可以解决许多实际问题，如分配资源、计算时间间隔等。
3、例如，在分配任务时，需要找到每个人的工作量的最大公因数，以便合理地分配任务；在计算旅行时间时，需要找到出发时间和到达时间的最大公因数，以便计算出最短的旅行时间。
4、公因数还可以用于解决一些数学问题。例如，在组合数学中，需要找到给定集合中所有元素的公共因数。此外，在数论中，也需要用到公因数的概念。例如，欧拉函数就是一个与正整数n相关的函数，它表示的是小于等于n且与n互质的正整数的个数。
5、欧拉函数的一个重要性质就是它具有唯一的分解形式，即φn=n*1^n-1*d^1*1-1/p^r，其中d是n的质因子分解中的一个质数，p是n的一个质因子，而r则是小于n且与n互质的正整数的个数。这个式子中的每一项都可以看作是一个公因数的乘积。
6、公因数还可以用于解决一些实际问题。例如，在计算机科学中，需要找到两个文件之间的公共字符集。这个问题可以通过比较两个文件的每个字符来解决，如果两个字符相同，则它们就是公共字符集中的元素之一。这种方法可以有效地减少比较的次数，提高程序的效率。
7、公因数是数学中一个重要的概念，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。无论是在求解最大公因数和最小公倍数的问题中，还是在解决其他数学问题和实际问题中，公因数都扮演着重要的角色。