矩阵证明题解析

Question

如题所述

Answer 1

本文将对矩阵证明题进行详细解析，包括证明过程和结论。
证明A+B正定
由已知条件可得A+B正定，证明过程如下：A=AT,B=BT,(A-)T=(AT)-=A-,(B-)T=(BT)-=B-，得出A-和B-也正定，由第一题结论可得A- + B-也正定。
证明AB可交换时AB正定
对于B，只有AB可交换时结论成立，假设AB正定，则AB首先对称，AB=（AB）T =BtAt，由A、B均正定得A=At，B=Bt，得到AB=BA可见只有AB可交换时结论成立。CD同样可证明是正确的，答案为B。
计算矩阵E+AB的行列式
由于AB相似，可知他们有相同的特征值和特征向量，并且矩阵对应的行列式的值为2，且均为可逆矩阵，E+AB的特征值为5、2、2故|E+AB|=20。