二次函数y=-1/2x^2+bx+c的图像与x轴的正半轴相交于点A、B,与y轴相交于点

Question

已知二次函数y=-1/2x^2+bx+c的图像与x轴的正半轴相交于点A、B,与y轴相交于点C，且OC^2=OA*OB.

（1）求c的值

（2）若△ABC的面积为3.求该二次函数的解析式

（3）设点D是（2）中所确定的二次函数图像的顶点，试问在直线AC上是否存在一点P，是△PBD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由。

只需要第三问的过程 （点B在点A的右方即Xb>Xa）
请勿复制
速回 加分！！！ 我算出的答案是 P(12/7,10/7)对吗 一楼的 你貌似算错了吧 AC=2X-2 A B点也错了！！！

Answer 1

解：(1)设x1、x2是方程-1/2x²+bx+c=0的两根，则可得到
OA*OB=x1*x2=-2c>0
x1+x2=2b>0
OC=-c>0
所以c²=-2c可得c=-2
(2)S△ABC=1/2*(-c)*|x2-x1|
又|x2-x1|=开平方{(x1+x2)²—4x1*x2}=开平方{4b²+8c}=开平方{4b²-16}
∴S△ABC=1/2*(-c)*|x2-x1|=|x2-x1|=开平方{4b²-16}=3
由此可得b=2.5或b=-2.5，
由于x1+x2=2b>0，所以b=2.5
∴y=-1/2x²+2.5x-2
(3)该问题分两种情况讨论：
①、若B点在A点的左方，则直线AC可表示为y=x-2；
要使△PBD的周长最小，只需PB+PD最小，
由方程-1/2x²+2.5x-2=0可解得x1=1/2,x2=2;在A,B两点坐标分别为
A(2,0),B(1/2,0)
设（x,y)为P点坐标，则
PB=开平方{(x-1/2)²+y²}；PD=开平方{(x-5/2)²+(y-9/8)²}
PB+PD=开平方{(x-1/2)²+(x-2)²}+开平方{(x-5/2)²+(x-2-9/8)²}
PB+PD=开平方{2x²-5x+4}+开平方{2x²-45/4x+1025/64}
根据a²+b²≥2ab（a≥0，b≥0；等号当且a=b成立）
因此当PB=PD时，△PBD的周长最小
此时2x²-5x+4=2x²-45/4x+1025/64，可解得x=753/400,y=-47/400
②、若B点在A点的右方，则直线AC可表示为y=4x-2
则A(1/2,0),B(2,0)
设（x,y)为P点坐标，则
PB=开平方{(x-2)²+y²}；PD=开平方{(x-5/2)²+(y-9/8)²}
PB+PD=开平方{(x-2)²+(4x-2)²}+开平方{(x-5/2)²+(4x-2-9/8)²}
即PB+PD=开平方{17x²-20x+8}+开平方{17x²-30x+1025/64}
当PB=PD时，△PBD的周长最小
此时17x²-20x+8=17x²-30x+1025/64 可得x=513/640
由于P点在直线AC上，则P（x,y)的x取值范围为0<x<1/2,
而x=513/640＞1/2
因此B点在A点的右方时，△PBD的周长没有最小值。
综合以上两种情况，当B点在A点的左方时，△PBD的周长最小，此时
P点的坐标为P(753/400,-47/400)

Answer 2

算出答案和你一样
（1）根据已知公式X1*X2=-2c 题中OA＝X1，OB＝X2，，OC＝c
而X1*X2＝c*c，由c^2=-2c得c=0或-2 又由图知c<0，可得出c=-2;

（2）c=2即高为2，得X2-X1=3
根据公式X1*X2=-2c X2+X1=2b （X2-X1）^2=(X2+X1)^2-4X1*X2
9=4b^2-16 得b=5/2
所以y=-1/2x^2+5/2x-2

(3)AC:y=2x-2 由解析式得B(4,0) 再求B关于AC对称点B'(-4/5,12/5）
知BP+PD=B'P+PD 因为两点间线段最短 BP+PD最小为B'D
(常规做法，画图很容易看出）
所以P即为B'D与AC交点
由解析式得D(5/2,9/8) 由B' D两点求得B'D：y=-17/44x+23/11
AC:y=2x-2 得交点P（12/7,10/7)）本回答被提问者采纳