在复变函数的世界里，有一种特殊的函数类型——多值函数，它揭示了复数之间的微妙关系。当我们说 在区域D内，如果复数z与z'通过函数关系f对应，记作f(z) = z'，那么f被称为D上的多值函数。
举个例子，根式函数的平方根定义：对于给定的x，若满足x = y^2，y并不唯一，通常有两个y值与之对应，这就是多值性的体现。例如，当x固定时，y可能有两个解，一个在实数轴上，另一个在虚数轴上。
深入研究根式函数的极坐标表达，我们可以观察到，当将f(x)转换为极坐标形式时，对于给定的x，可能有两个不同的θ值对应，这就导致了多值性。特别地，这种多值性源于宗量的多值性，我们通常用θk = θ + 2πk（k为整数）来表示，以确保确定性。
当我们探索复平面中，自变量x沿着不穿过特殊点的闭合曲线变化时，会遇到两种情况：如果x点在曲线外，其对应值y不会改变，这就是单值函数的体现；但如果x点在曲线内，y值会发生改变，这就揭示了多值函数的分支特性。这些特殊点，即分支点，如点z，其附近的点如果绕周后y值不恢复原状，就标志着它的重要性。
分支点的寻找方法包括：通过无限大路径的闭合路径测试，或者通过变换x为x + 2πi，观察y的变化。例如，对于函数f，无论路径大小，当x绕宗量一周回到原点，y值始终不恢复，表明x是分支点。
多值函数通常不只一个分支点，例如函数g可能有两个，即z和w。为了像研究单值函数一样探讨它们的性质，我们需要将其转化为单值函数。方法是限制宗量的辐角范围，如规定θ在某个周期内，这样就能确保每个x值只对应一个确定的y值。
在复平面上，通过作平行实轴的割线，我们划分出单值分支。割线将多值函数的分支点连接，限制了自变量x的路径选择，使其不能绕过分支点。割线的选择具有灵活性，只要符合规则即可。
对于更复杂的根式函数，如根号下复数或者对数，我们也可以运用类似的方法进行单值化。对数函数的对数值，尽管有无穷多个，通过宗量的限制和割线的选择，可以得到单值分支。对数函数的分支点和割线上的点成为奇点，但通过引入更高级的数学概念——黎曼面，这些问题得以解决。
在黎曼面上，复平面被分割成多个部分，并通过特定的粘接规则连接起来。以对数函数为例，通过构建多叶黎曼面，我们能够更全面地理解多值函数的行为，这在三维空间中是无法直观展现的，但却是解决多值函数难题的关键。
总的来说，多值函数是复变函数中一个丰富且深奥的领域，通过巧妙的单值化方法和黎曼面的引入，我们能够揭示其内在的结构和性质，从而深入研究和应用这些函数。后续章节将介绍更复杂的多值函数及其解析延拓，让我们的理解更加全面。