求z=x²+y²在条件x+y=1下的条件极值

Question

如题所述

Answer 1

作函数F(x，y)=x²+y²+λ(x+y-1)，令
∂F/∂x=2x+λ=0...........(1)
∂F/∂y=2y+λ=0...........(2)
x+y=1............................(3)
(1)-(2)得2(x-y)=0,即x-y=0..........(4)
(3)+(4)得2x=1,故x=1/2，y=1/2.
即(1/2，1/2)是锥面z=x²+y²在满足条件x+y=1的极小点；zmin=(1/2)²+(1/2)²=1/2.
【z=x²+y²是一个锥顶在原点，以z轴为对称轴的倒立的园锥；x+y=1是一个垂直于xoy平面，
且与xoy平面的交线为直线y=-x+1;其与锥面的交线所在平面平行于z轴的双曲线，因此只有
最小值，无最大值。】

Answer 2

追答

就是圆的半径平方，有最小值，就是圆和直线相切