一个线性代数线性相关与线性无关的问题

Question

已知 a4 能由 a1 a2 a3 线性表示，而且 a1 能由 a2 a3 线性表示，为什么能够推出来 a4 能由 a2 a3 线性表示呢？为什么 a4 能由 a2 a3 线性表示，就可以说 a2 a3 a4 线性相关呢？

Answer 1

a4由a1,a2,a3线性表出等价于存在k1,k2,k3,
s.t. a4 = k1a1+k2a2+k3a3 (1)
a1由a2,a3线性表出等价于存在j2,j3,
s.t. a1 = j2a2+j3a3 (2)
把(2)带入(1)中
a4 = (k1j2+k2)a2+(k1j3+k3)a3,
于是a4可以由a2,a3线性表出

a4由a2,a3线性表出意味着存在z2,z3
s.t. a4 = z2a2+z3a3
于是 a4 - z2a2 - z3a3 = 0
这就是说若a2,a3,a4的线性组合是零向量，那么这个组合的系数可以非零，也就是说这些向量不是线性无关的，就线性相关