泰勒公式就是将函数用多项式表达的一种通用方法，又称为泰勒展开。看起来高端大气，如果a=0的话，就是麦克劳伦公式。
泰勒公式一句话描述：就是用多项式函数去逼近光滑函数。
一、泰勒公式是什么？
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
概念：若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
这里需要理解：x0是区间内某一个点，而x是一个变量。这个要点虽然很简单，但是却是很多同学迷迷糊糊的原因之一。
二、泰勒公式的余项
最常见的两种泰勒公式的余项：佩亚诺余项和拉格朗日余项。
它们的形式如下：
不同的余项形式有着不同的作用。
佩亚诺余项形式的使用场景：求无穷小量的阶数或者求函数极限时使用。
拉格朗日余项形式的使用场景：证明等式或不等式时使用。
三、常用的泰勒公式
泰勒公式常在x=0处展开，以下就是常见的在0点展开的泰勒公式。
四、泰勒公式的用法
泰勒公式的用法可以说是百变多样的，下面是最经典的数学中泰勒公式的用法及例题，详细见下：
（1）求函数极限
先来看例题是怎么运用的：
如何知道泰勒公式展开到几阶呢？
答案是：展开到几阶可以根据分母或者分子的阶数来确定，如上例题，分母是二阶，则将式子展开至余项比二阶高阶即可。
注意：o(x)便是x的高阶无穷小量，x*o(x)则是x^2的高阶无穷小量。
（2）无穷小量的对比
我们也通过一道例题来讲解，如下：
（三）证明不等式
证明不等式是一个非常难，非常复杂的部分，一种题的证明方法多种多样，在这里，我只讲泰勒公式证不等式的内容。
用一道最基本的例题来说明泰勒公式证不等式的精髓吧，见下题：
这道题其实是用拉格朗日中值定理证明的一道典型例题，但是这里咱们不讲中值定理，所以接下来我用泰勒公式给大家证明一遍。
解题思路如下：
首先我们先化简一下：
接下来我们直接将lnx在x0点展开：
展开后，发现第三项恒<0，故：
从这道题可以一窥泰勒公式证明不等式的精髓：那就是泰勒公式展开后某一项与某值M之间有大小关系，由此而建立不等式。
（四）证明等式
泰勒公式证等式，其基本原理与证明不等式是一样的，即泰勒公式展开后某一项恒等于某值M。
给一道十分简单的例题，以便大家理解：
为了n阶泰勒公式f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)^2+.+[f(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n+Rn(x)的拉格朗日余项Rn(x).
Rn(x)=[f(n+1)(k)/(n+1)!](x-x0)^（n+1).其中k在x0与x之间.
（备注：f(n)(x0)是f(x)在x0点的n阶导数）
f(x)要有n+1阶导数就是为了求Rn(x)=[f(n+1)(k)/(n+1)!](x-x0)^（n+1).
扩展资料：
泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，
在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。
拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。
泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。
若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：
其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。
参考资料：百度百科-泰勒公式