线性代数 矩阵的秩

Question

题目
设A为n阶矩阵，A^2=A,E为n阶单位矩阵，则（ ）
A A的秩为n B A的秩为0
C A的秩与E-A的秩之和为n D A的秩与E-A的秩相同
选什么 希望答题者给予详细解释

Answer 1

A^2=A，
所以A(E-A)=0（零矩阵）。由矩阵乘积的不等式r(A)+r(B)<=r(AB)+n，
知r(A)+r(E-A)<= r( A(E-A) ) + n =r(零矩阵)+n=n；
另一方面由矩阵求和不等式 r(A)+r(B)>=r(A+B)，所以
r(A)+r(E-A)>= r( A+(E-A) )=r(E)=n，
因此r(A)+r(E-A)=n.
选C

Answer 2

A*(A-E)=0
两边取行列式
|A|*|A-E|=0
所以|A|=0（表明A的秩=0）
或者|A-E|=0（表明A-E的秩为0）
若|A|=0，则r（A）=0，|A-E|≠0（理由是|A|=0，不是|A|*|A-E|=0），则r（E-A)=n

若|A-E|=0，则r（A-E）=0，|A|≠0，所以r（A）=n

两种情况都是选 C

china_wc高人啊……呵呵，我果然忘记了最严谨的证明方法了……哎

Answer 3

A²-A＝0.A（A-E）＝0.

A.不成立。例如A=0.

B.不成立。例如A=E.

D,不成立。例如A=（100|000|000）

选C.

（要证明C成立非常麻烦，好在这是选择题。打住了。）

Answer 4

A^2-AE=0; A(A-E)=0; |A(A-E)|=|A||A-E|=0;
选 B

Answer 5