第一章 复数和复平面1
第一节 复数1
一、复数域1
二、复平面1
三、复数域中一些公式和事实3
四、复球面10
第二节 复平面的初等拓扑11
一、基本概念11
二、一些结论13
习题一17
第二章 复变函数19
第一节 复变函数的极限与连续19
一、复变函数的定义19
二、复变函数的极限与连续20
第二节 解析函数22
一、解析函数的概念22
二、柯西?黎曼条件24
三、单叶函数的概念26
第三节 初等函数28
一、指数函数28
二、三角函数30
三、对数函数31
四、幂函数35
五、反三角函数36
习题二37
第三章 复积分39
第一节 复积分的概念及其性质39
一、复积分的概念39
二、复积分的基本性质40
三、复积分的计算41
第二节 柯西积分定理43
一、单连通区域上的柯西积分定理43
二、多连通区域上的柯西积分定理47
第三节 柯西积分公式及其应用49
第四节 解析函数与调和函数53
第五节 解析函数在流体动力学中的应用55
一、无旋且无源的流体流动55
二、流动的特征函数57
习题三58
第四章 级数61
第一节 复数项级数和复变函数项级数61
一、复数项级数61
二、复变函数项级数63
三、级数∑+∞n=1annz的收敛性65
第二节 幂级数68
一、幂级数及其性质68
二、解析函数的泰勒展式70
三、解析函数零点的孤立性以及解析函数的唯一性73
第三节 洛朗展式75
一、双边幂级数75
二、解析函数的洛朗展式76
第四节 解析函数的孤立奇点80
一、孤立奇点的类型80
二、三种孤立奇点的特征81
三、解析函数在无穷远点的性质84
四、整函数和亚纯函数85
习题四87
第五章 留数与辐角原理90
第一节 留数及其性质90
一、留数定理90
二、留数的求法91
三、函数在无穷远点的留数93
第二节 用留数计算实积分95
一、三角函数有理式的积分95
二、广义积分的计算96
三、其他类型的积分99
第三节 辐角原理及其应用102
一、对数留数102
二、辐角原理103
三、儒歇定理106
第四节 与解析函数的映射性质有关的一些定理108
习题五113
第六章 共形映射115
第一节 共形映射的基本概念115
第二节 分式线性映射117
一、分式线性映射及其分解117
二、分式线性映射的共形性118
三、分式线性映射的保交比性119
四、分式线性映射的保圆性120
五、分式线性映射的保对称点性120
六、分式线性映射在共形映射中的应用122
第三节 某些初等函数的共形区域及其在共形映射中的简单应用124
一、幂函数与根式函数124
二、指数函数和对数函数125
三、一些简单的保形变换125
四、儒科夫斯基变换128
习题六130
第七章 传统复分析中的部分问题133
第一节 解析开拓133
一、解析开拓的基本概念和方法133
二、对称原理135
三、完全解析函数与黎曼面137
第二节 调和函数的一些基本性质138
一、平均值公式138
二、普阿松公式139
三、极值原理140
四、狄里克雷问题140
五、调和测度144
六、次调和函数145
第三节 正规族146
一、正规族的基本概念146
二、关于正规族的几个基本原则148
三、儒里亚定理和毕卡定理149
第四节 单位圆盘上的单叶函数151
习题七154
参考文献156
