拉格朗日中值定理怎么用

Question

如题所述

Answer 1

拉格朗日中值定理应用如下：

g(x)=e^x-ex

g(x)在[1，x]连续，在（1，x）可导

所以由拉格朗日中值定理

存在w∈(1,x),使得g'(w)=(g(x)-g(1))/(x-1)

e^w-e=(e^x-ex)/(x-1)

即e^x-ex=(x-1)*(e^w-e)

此时x>1且w>1所以(x-1)*(e^w-e)>0

即e^x-ex>0;e^x>ex成立

补充资料：

拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。如果函数f(x)在(a，b)上可导，[a,b]上连续，则必有一ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)，拉格朗日中值定理的几何意义。

其“中值”指的是区间（a，b）的两个端点所连直线的斜率，这个定理就是说如果在闭区间上连续，开区间上可导。

那么总有那么一个值能够使已知曲线的斜率和直线斜率相等，其他的斜率都会比这个大或者小。事实上如果看过罗尔定理，那么就会更理解这个中值的意义了，在那个定理中，中值指的是斜率为0。