在平面几何中，我们遇到多个有趣的例题，涉及到各种定理的运用。首先，当直线CF交△ABC边BC的中线AD于F时，利用梅氏定理可以证明CEF截得的三角形与原三角形的关系。通过添加辅助线，我们可以构造平行线来辅助证明。
过△ABC的重心G分别交边AB、AC于E、F，与CB的交点为D，连接AG并延长交BC于M，梅氏定理再次发挥作用，DEG和DGF分别截得的三角形与原三角形有相似的性质，得出等式关系。
在三角形ABC中，如果D、E、F在各边上的点满足一定条件，AD、BE、CF相交于△LMN，利用梅氏定理可以计算△LMN的面积。对于相似等腰三角形的问题，塞瓦定理是解决的关键。
对于一些涉及边长和角度的关系证明，如∠B=2∠C时，通过构造辅助线和使用托勒密定理，可以证明AC与AB、BC的特殊关系。
正七边形的题目展示了托勒密定理在解决对角线问题中的应用，而西姆松定理则在涉及圆和线段的交点关系时发挥作用。对于正六边形的对角线问题，面积法是常用的解题技巧。
点O在三角形内的位置与距离关系的证明，通常运用面积法。垂心、重心和外心共线的欧拉线定理，以及对称变换和平移变换在证明问题中也有所体现。
在菱形和四边形的问题中，如内切圆的切线性质和相似三角形的性质，是解决证明问题的关键。同时，Ceva定理和角平分线定理在证明对角线关系时起到决定性作用。
平面几何指按照欧几里得的《几何原本》构造的几何学。也称欧几里得几何。平面几何研究的是平面上的直线和二次曲线（即圆锥曲线， 就是椭圆、双曲线和抛物线）的几何结构和度量性质（面积、长度、角度）。平面几何采用了公理化方法， 在数学思想史上具有重要的意义。