几何 证明 三角形 垂直 相似 四点共圆

Question

三角形ABC中，CE交AB于E，BF交AC于F，且满足∠ABF=∠ACE，CE、BF交于O，过O作OP垂直AB于P，过O作OQ垂直AC于Q。D为BC中点，连接PD、QD。 求证DP=DQ。

Answer 1

取BO,CO中点M,N,连PM,DM,QN,DN,
直角三角形BOP中，
PM=BO/2,
DN是三角形BOC中位线，
所以DN=B0/2,
所以：PM=DN，
同理：DM=QN,
DM‖OC,∠OMD=∠FOC,
DN‖OB,∠FOC=∠OND,
所以：∠OMD=∠OND,
又∠PMO=2∠PBO=∠QNO=2∠QCO,
所以∠PMD=∠DNQ
所以三角形PMD全等三角形DNQ（SAS），
所以DP=DQ