二项式系数的性质是对称性和单峰性。对称性指的是与首末两段“等距离”的两个二项式系数相等。单峰性是指：当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大。
一般二项式（x + y)ⁿ的幂可用二项式系数记为广义二项式定理把这结果推广至负数或非整数次幂，此时右式则不再是多项式，而是无穷级数。
二项式系数公式推导：
二项式系数符合等式可以由其公式证出，也可以从其在组合数学的意义推导出来。如第一式左项表示从n+1件选取k件的方法数，这些方法可分为没有选取第n+1件，即是从其余n件选取k件；和有选取第n+1件，即是从其余n件选取k−1件。而第二式则是每个从n件选取k件的方法，也可看为选取其余n−k件的方法。
以上内容参考：百度百科-二项式系数
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