正弦型函数是形如y=Asin(ωx+φ)+k的函数，其中A，ω，φ，k是常数，且ω≠0。函数y=Asin(ωx+φ)，(A>0，ω>0)，x∈R的图象可以看作是用下面的方法得到的：先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0)或向右(φ<0)平行移动|φ|个单位，再把所得各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的1/ω倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A> 1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标不变)。当函数y=Asin(ωx+φ)，(A> 0，ω> 0)，x∈〔0，+∞)表示一个振动量时，A就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做振动的
振幅；往复振动一次所需要的时间T=2π/ω，它叫做振动的周期。单位时间内往复振动的次数f=1/T=ω/2π，它叫做振动的频率，ωx+φ叫做相位，φ叫做
初相(即当x=0时的相位 )[1]。
中文名
正弦型函数
外文名
Sinusoidal function
所属学科
数学
所属问题
平面三角(三角函数)
形式
y=Asin(ωx+φ)
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正弦型函数的图像
正弦型函数的性质
基本介绍
正弦型函数是实践中广泛应用的一类重要函数，指函数y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ均为常数，且A>0，ω>0)。这里A称为振幅，ω称为
圆频率或角频率，φ称为初相位或初相角，正弦型函数y=Asin(ωx+φ)是
周期函数，其周期为2π/ω。
正弦型函数的图像
正弦型函数y=Asin(ωx+φ)图象的几何画法是：在横轴Ox上任取一点C为圆心，A为半径作圆，与x轴相交于两点A0和A6.以A0为始点，任意等分此圆(图中是12等份)，设分点为Ai(i=0，1，2，…，12)，其中A0与A12重合，在x轴上取OA′0=-φ/ω，然后从A′0起作A′i(i=0，1，2，…，12)，使A′iA′i+1=π/6ω，即周期2π/ω的1/12，过Ai与A′i分别与x轴和y轴平行的直线交于点Pi，连结Pi各点成光滑曲线，即得y=Asin(ωx+φ)在一个周期内的近似图象。正弦型函数的图象也称为正弦型曲线或称
正弦波。如图1所示。
图1
图1（a）
图1（b）
正弦型曲线还可由
正弦曲线y=sin x的图象经过适当的横向和纵向的伸缩变换及横向平移变换而得到，许多物理现象的规律可以用正弦型函数表示，如质点作简谐振动时，该质点相对于平衡位置的位移y与时间t的关系可用正弦型函数表示。罗贝瓦尔(G.P.de.Roberval)于1634年在研究
旋轮线时，把正弦型曲线y=a sin(x/a)(其中a是母圆的半径)当做旋轮线的伴侣而引入数学的。
例 如函数 的图像也可以利用正弦曲线y = sinx经过图像变换得到：
(1)把正弦曲线y= sinx上的所有点的横坐标缩小到原来的一倍(纵坐标不变)，得到函数y= sin2x的图像。
(2)再把函数y=sin2x的图像上的所有点向右平移 个单位长度,得到函数 的图像。
(3)再把函数 的图像上所有点的纵坐标扩大到原来的3倍(横坐标不变)，就得到函数 的图像(图2)[2] 。
图2
由于函数y=Asin(ωx+φ)(其中A，ω，φ都是常数，A、ω∈R+)的图像可以由正弦曲线经过变换得到，因而这样的函数称为正弦型函数，其图像称为正弦型曲线。