高数导数问题（矛盾）

Question

高数导数问题（矛盾）函数具有二阶导数，意味着可导，但最终化为0.

但0也是可导函数，因为0的导数就是0，那它不是有n阶可导？我觉得想法和跟定义没有冲突，不知道那里错了。
知道的朋友帮忙回答下，谢了。

Answer 1

一般不认为常数为函数。因为不是完全满足函数的定义。你说的是指0求导还是0，确实，对0可以进行导数分析。令f(x)=0，
f是连续的，limit x->0 f(x+c)-f(c)/x。由于f连续，无间断点。且为初等函数。所以必然可导。
因此f有一阶导。同理f'=f。所以f也有二阶导。追答

然后你说的是函数仅有二阶导。到三阶导是为0了。与0本身有没有n阶导之间的问题。这里，如果函数求导到0了，最后这个0和f(x)=0，是不一样的。后者是一条线。前者是一个点。是导函数变成一个点了。自然没有下一阶导数的存在。

追问

导函数取到0是是一个个点这个怎么理解？

其实这个0问题和取到常数一样。不会是将自变量化无，那么它也就不存在了。

追答

我们求导数，都是一个点一个点求的。所谓的导函数是满足这些法则的点的集合。这也就是你看到导数定义都是对一个点而言。讨论导函数连续也是对导数存在的前提。但关于一个数求导后为0后，是否仍旧有下一阶导，根据实际来讲是有的。但没有意义。没有意义与不存在等同。

而且这个0我个人认为是无穷小的近视等价，不能完全与0等同。如limit 1/x x趋向于无穷。我们都知道极限为0。但这个零和无穷小什么关系？导数本身也是极限。。

追问

可以，现阶段我就接受你的理论吧，以后再自己研究，谢了。

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Answer 2

没有错的，也没有矛盾啊
有二阶导数，且=0的函数就是一次多项式
说它有无穷阶导数都没有错，也没有任何矛盾
函数f(x)=0不光可以微分、积分
也可以展开成无穷级数
所有实数都是它的根
...
只是函数f(x)=0没有任何用处
也没有任何研究价值
所以如果说一个函数有无穷多阶导数
没有人会考虑这个函数
甚至也不考虑多项式
无形中大家就以为多项式是有限次可微的
这是才错的呢

Answer 3

导数可以理解是一个变化速率的表现,具有局部性,0能不能求导要看它邻近点的情况,如果是一个孤立的点或是尖点则不能求导,如果是一个光滑函数当然在0点可以求导,而且导数不一定是0
如果认为0是一个常数,那么它的图像应该是y=0,是一条直线,所以此时它的导数为0追问

谢谢你的回答，但是我还是不能理解。
举个例子，y=x^2（x∈R），它的三阶导数就是0，以后的导数一直是0，我这样说没错吧。

追答

y=x^2（x∈R），它的三阶导数就是0，以后的导数一直是0 大错 特错！

能不能求导要看它邻近点的情况,如果是一个孤立的点或是尖点则不能求导
函数求导到0了，最后这个0是不能求导的 没有意义
f(x)=0，是可以求导的。因为f(x)=0是一个光滑函数