y=x+a/x,其
定义域是x不等于0,
将上式两边同时乘以x,得到
x^2-yx+a=0,因为x是有解的,其判定式为
k=(-y)^2-4a=y^2-4a>=0,解出y>=2a^0.5或y<=-2a^0.5
解出此时y对应的x值为x1=a^0.5或x2=-a^0.5
函数的增减性用其定义来证明,因为x1和函数的定义域将x正轴分成了两段,所以我们也分段讨论
设a^0.5>=x1>X2,且x1,x2都大于0
f(x1)-f(x2)=x1-x2-a*(x1-x2)/(x1*x2)=(x1-x2)[x1*x2-a]/(x1*x2)
0<x1<=a^0.5……1式,x1>x2
0<x2<a^0.5……2式
1式乘以2式,得到
0<x1*x2<a,x1*x2-a<0,又x1-x2>0,x1*x2>0,
所以有f(x1)-f(x2)<0,函数为
减函数x1>X2>a^0.5,且x1,x2都大于0
f(x1)-f(x2)=x1-x2-a*(x1-x2)/(x1*x2)=(x1-x2)[x1*x2-a]/(x1*x2)
x1>a^0.5……1式,x1>x2
x2>a^0.5……2式
1式乘以2式,得到
x1*x2>a,x1*x2-a>0,又x1-x2>0,x1*x2>0,
所以有f(x1)-f(x2)>0,函数为
增函数