求过圆上一点的一般式的切线方程及证明方法

Question

如题所述

Answer 1

简单计算一下，答案如图所示

Answer 2

这个很容易的了。至少有两种方法。
方法一
过圆心的半径与切点直线垂直，可以根据圆心（a,b)，切点(x1,y1)求出斜率，根据垂直直线斜率之积为-1，得出切线方程斜率。又切线方程过切点，根据点斜式就可以得到切线方程了。
方法二
用大学的导数
两端对x求导，并代入切点(x1,y1)求出切线斜率，根据点斜式就可以得到切线方程了。

Answer 3

1）求法：因所给条件的不同，当已知点和已知圆较特别时，有时有简单方法。
1.设直线方程为：y-yp=k(x-xp)
点斜式，xp,yp是已知点坐标。
2.将圆方程化为标准式：即：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,这就找出了圆心坐标C（a，b）和圆半径r。将直线方程化为一般式：kx-y+(-kxp-yp)=0
3.根据圆心到切线的距离等于半径，可列方程：|k*a-b-k*xp+yp|/根号（k^2+1^2)=r
这里面除k外，全是已知数。于是可以解出k1,k2(特殊情况下，方程是一个一次方程，只能解出一个k,例如已知点在圆上或有一条切线斜率不存在等等）
4.将求得的k代入【1.】所设的方程中并整理。（有时还需要化为一般式，若只求出一条切线，还需要根据已知条件的特殊性找出另一条。）
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2）证明：因各人习惯不同有多种证法。我说一下我常用的。
1.将直线化为一般式，圆化为标准式
2.通过计算，证明圆心到直线的距离等于半径。（证明相交，相离也是这样。不过相交时小于半径；相离时大于半径）

Answer 4

解：设圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,P(X0,y0)为圆上一点，则圆的切线方程为：
(X0-a)(X-a)+(y0-b)(y-b)=r^2
证明：∵P(X0,y0)为圆上一点
∴(X0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
要证明：圆的切线方程为：(X0-a)(X-a)+(y0-b)(y-b)=r^2
只证明：(X0-a)(X-a)+(y0-b)(y-b)=(X0-a)^2+(y0-b)^2
整理得：y-y0=-[(X0-a)/(y0-b)](X-X0)
,这正是过圆上点P(X0,y0)的切线方程。
∴圆的切线方程为：(X0-a)(X-a)+(y0-b)(y-b)=r^2

Answer 5

设圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
圆上一点(x0,y0)的一条直线y-y0=k(x-x0)与圆相切
则圆心（a，b)到直线的距离=r
即|b-y0-k(a-x0)|/√（1+k^2)=r
计算出k