3.设y=tx,则dy=xdt+tdx,原方程变为
dx/x=(t^2-3)dt/(5t-t^3)=(-1/5)[3/t+1/(t-√5)+1/(t+√5)]dt,
积分得lnx=(1/5)ln[t^3*(t^2-5)]+lnc
所以x=c*[t^3*(t^2-5)]^(-1/5),
1=c[y^3*(y^2-5x^2)]^(-1/5),
y(0)=1,
所以c=1,
y^3*(y^2-5x^2)=1,为所求。
解2 原方程两边都乘以5y^2,得
(5y^4-15x^2y^2)dy-10xy^3dx=0,
即d(y^5-5x^2y^3)=0,
积分得y^5-5x^2y^3=c,
y(0)=1,
所以c=1,y^5-5x^2y^3=1,为所求。
4.设y=xc(x)是y'-y/x=(-2/x)lnx的解,
则y'=c(x)+xc'(x),
代入上式得c'(x)=(-2/x^2)lnx,
积分得c(x)=(2/x)lnx+2/x+c,
所以y=2lnx+2+cx,
y(1)=1,
所以c=-1.y=2lnx+2-x.
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