如何理解数域上的特征值？特征值是几？

Question

如题所述

Answer 1

（不知道对应中文的名词我用英文代替了，抱歉）首先任意有限数域都是素数平方的order，而数域是一个domain，所以特征值要么0要么素数，但是数域有限，所以只能是素数，而且不能大于4，所以只能是2或者3。根据Lagrange theorem, 我们必须有特征值整除4，所以只能是2
假设x是数域内非零非单位元的元素，那么由于e+e=0，所以0=x(e+e)=xe+xe=x+x. 所以剩下的一个元素y必须是x的multiplicative inverse， 即xy=e。由于F只有4个元素0，e，x， y, 所以x+e必须为其中一个：若x+e=0,则x=e，矛盾； 若x+e=e,则x=0，矛盾；若x+e=x,则x+x=x+e+x，即 0=e，矛盾；所以必须有x+e=y，所以x(x+e)=x^2+x=xy=e，得到x^2=x^2+x+x=e+x，同理对y成立。