这道微积分的题目要怎么算？

Question

求下列曲线所围成的图形绕指定坐标轴旋转所得旋转体的体积，这个要怎么算，答案是六分之兀

Answer 1

Vy=π∫(0，1) [(√y)²ï¼y²]dy

=π (1/2 y² - 1/3 y³) | (0，1)

=π*(1/2 - 1/3)

=π/6

Answer 2

这道题目要求计算函数 y = x^2 和直线 y = x 绕 y 轴旋转后形成的立体图形的体积。
为了解决这个问题，我们需要使用微积分中的旋转体体积公式。
旋转体体积公式通常用于计算一个函数图像绕某条轴旋转后形成的立体图形的体积。
在这个问题中，函数 y = x^2 和直线 y = x 都要绕 y 轴旋转。
旋转体体积的计算公式为：
V = π ∫[a, b] (f(y))^2 - (g(y))^2 dy
其中，f(y) 和 g(y) 是两个函数的表达式，a 和 b 是积分的上下限。
在这个问题中，f(y) = y（因为 y = x^2 的反函数是 x = ±sqrt(y)），g(y) = y（因为 y = x 的反函数也是 x = y）。
积分的上下限是 y 的取值范围，即 0 到 1（因为在这个范围内，y = x^2 的图像位于 y = x 的下方）。
所以，我们可以将问题转化为计算以下定积分：
V = π ∫[0, 1] (y)^2 - (y)^2 dy
现在，我们可以开始计算这个定积分。
计算结果为：V = 0
所以，函数 y = x^2 和直线 y = x 绕 y 轴旋转后形成的立体图形的体积是 0。

Answer 3

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