第1个回答 2020-02-05
形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。
当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：
a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)
简单地说就是在递推中令an=x
代入
a(n+1)也等于x
然后构造数列.
（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）
令x=(ax+b)/(cx+d)
即
cx2+(d-a)x-b=0
令此方程的两个根为x1，x2，
若x1=x2
则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p
其中p可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
若x1≠x2
则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)
其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
【注】形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。
让a(n+1)=an=x，
代入化为关于x的二次方程
(1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出
(2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出
若无解，就只有再找其他方法了。
并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。
例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项
【解】a(n+1)=(2an+8)/an，
a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x
x=2+8/x
x^2-2x-8=0
x1=-2,x2=4
{(an-4)/(an+2)}为等比数列
令(an-4)/(an+2)=bn
b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)]
=-1/2
b(n+1)=(-1/2)bn
b1=-1/2
bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2)
an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1
例2：a1=1,a2=1,a(n+2)=
5a（n+1）-6an，
【解】特征方程为：y²=
5y-6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3
于是，a（n+2）-3a（n+1）=2[a（n+1）-3an]
(1)
a（n+2）-2a（n+1）=3[a（n+1）-2an]
(2)
所以，a（n+1）-3a（n）=
-
2
^
n
(3)
a（n+1）-2a（n）=
-
3
^
(n-1)
(4)
消元消去a（n+1），就是an,an=-
3
^
(n-1)
+2
^
n.
第2个回答 2020-05-13
构造法求数列的通项公式
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1
设各项均为正数的数列
的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：
成立，求
的通项an.
解：
，
∴
，∵
，∴
.
即
是以2为公差的等差数列，且
.
∴
例2
数列
中前n项的和
，求数列的通项公式
.
解：∵
当n≥2时，
令
，则
，且
是以
为公比的等比数列，
∴
.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3
设
是首项为1的正项数列，且
，（n∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得
.
∵
，
，∴
.
∴
.
例4
数列
中，
，且
，（n∈N*），求通项公式an.
解：∵
∴
（n∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5
数列
中，
，前n项的和
，求
.
解：
，
∴
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
例6
设正项数列
满足
，
（n≥2）.求数列
的通项公式.
解：两边取对数得：
，
，设
，则
是以2为公比的等比数列，
.
，
，
，
∴
例7
已知数列
中，
，n≥2时
，求通项公式.
解：∵
，两边取倒数得
.
可化为等差数列关系式.
∴