求数列的通项公式有哪几种方法？

Question

如题所述

Answer 1

【累加法】
求数量1、1/2、1/4、1/7 ……的通项公式
解：先看数列1,2,4,7……
研究它的规律发现：
a1=1
a2=a1+1
a3=a2+2
---------
an=a(n-1)+(n-1)
上述式子相加得：
a1+a2+a3+----+a(n-1)+an=a1+a2+a3+----+a(n-1)+1+1+2+3+---+(n-1)
an=1+1+2+3+---+(n-1)
=1+n(n-1)/2
=(n²-n+2)/2
所以1、1/2、1/4、1/7 的通项公式是an=2/(n²-n+2).

数列{an},a1=1,an=3^(n-1)+an-1,n>=2,求an通项公式
解：an=3^(n-1)+a(n-1)
an-a(n-1)=3^(n-1)
a(n-1)-a(n-2)=3^(n-2)
a(n-2)-a(n-3)=3^(n-3)
......
a2-a1=3
累加得：an-a1=3^(n-1)+3^(n-2)+...+3=(3^n -3)/2
an=3^n/2-1/2

【利用Sn与an的关系解题】
设sn为数列an的前n项和 且SN=2分之3的AN-1求AN的通项公式
解：Sn=3/2(an-1),所以S(n-1)=3/2(a(n-1)-1),
a[n]=S[n]-S[n-1]=3/2(a[n]-a[n-1])，得a[n]=3a[n-1]
∴a[n]是等比数列，公比是3，又a1=S1=3/2(a1-1)，解得a1=3
∴a[n]=3*3^(n-1)=3^n.

设数列{An}的前项和为Sn,A1=10.An+1=9Sn+10.求数列{An}的通项公式
解：An+1=9Sn+10
An=9S(n-1)+10
An=Sn-S(n-1)=(1/9)[A(n+1)-An]
A(n+1)/An=10
所以为等比数列 A1=10,q=10
An=10*10^(n-1)=10^n

设各项都为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=1/2(an+1/an) ，求an的通项公式
解法一：
Sn=1/2(an+1/an)
S(n-1)=Sn-an=1/2(1/an-an)
Sn+S(n-1)=1/an
Sn-S(n-1)=an
上面两式相乘得：
Sn^2-S(n-1)^2=1
S1=a1=1/2(a1+1/a1),a1=1

{Sn^2}是首项为S1^2=1,公差为1的等差数列
Sn^2=n
Sn=√n
an=Sn-S(n-1)=√n-√(n-1)

解法二：
两边同乘2an 2anSn=an²+1
2（Sn-Sn-1）Sn=（Sn-Sn-1）²+1
（Sn-Sn-1）【2Sn-（Sn-Sn-1）】=1
Sn²-Sn-1²=1
a1=Sn=1
Sn²=n
an=Sn-Sn-1=√n-√（n-1)

【构造等差数列】
数列a（1）=1,a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n 则{an}的通项公式是？
解：a(n)=1/3a(n-1)+(1/3)^n
两边同乘以3^n得：
3^n a(n)= 3^(n-1) a(n-1)+1,
这说明数列{3^n a(n)}是等差数列，公差为1，
首项为3a1=3,
所以3^n a(n)=3+(n-1)*1
3^n a(n)=n+2
a(n)=(n+2)/ 3^n.

设数列｛a(n)}的前n项和Sn=2a(n)-2^n. 求数列a(n)的通项公式。
解：当n=1时，有a1=S1=2a1-2，解得：a1=2；
当n>1时，Sn=2an-2^n=2an-2*2^(n-1)，S(n-1)=2a(n-1)-2^(n-1)
所以an=Sn-S(n-1)=[2an-2*2^(n-1)]-[2a(n-1)-2^(n-1)]=2an-2a(n-1)-2^(n-1).
整理得：an-2a(n-1)=2^(n-1).
两边同时除以2^n，得：an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=1/2.
因为a1/2^1=1，所以数列{an/2^n}是以1为首项，1/2为公差的等差数列.
所以an/2^n=a1/2^1+(n-1)*d=1+(n-1)/2=(n+1)/2，
所以an=(n+1)*2^(n-1).
因为a1=2=(1+1)*2^(1-1)，符合上式.
所以数列{an}的通项公式为an=(n+1)*2^(n-1).

数列{an}满足a1=3 a(n+1)=3an+3^n+1求通项公式
解：a(n+1)=3an+3^(n+1),两边同除以3^(n+1)可得：
a(n+1)/ 3^(n+1)= 3an/ 3^(n+1)+1,
a(n+1)/ 3^(n+1)= an/ 3^n+1,
设an/ 3^n=bn,则b(n+1)=bn+1,
这说明数列{bn}是公差为1的等差数列，首项为b1=a1/3=1.
bn=b1+(n-1)•1=1+(n-1)•1=n.
即an/ 3^n=n,
∴an=n•3^n.

【待定系数法构造等比数列】
数列{An}a1=1 , 3an-a(n-1)=n 求An 的通项公式
解： 3an=a(n-1)+n,
an=1/3[a(n-1)+n]……①
设an+xn+y=1/3[a(n-1)+ x(n-1)+y ]……②,其中x，y是待定的常数。
①②两式比较可知：x=-1/2，y=1/4,
所以an-1/2n+1/4=1/3[a(n-1)-1/2(n-1)+1/4 ],
这说明数列{ an-1/2n+1/4}是等比数列，公比为1/3,首项为a1-1/2+1/4=3/4.
根据等比数列的通项公式得：
an-1/2n+1/4=3/4•(1/3)^(n-1),
an=3/4•(1/3)^(n-1)+1/2n-1/4.

已知数列{an}的首项a1=3/5 , a(n+1)=3an/2an +1,n=1,2,3... 求{an}的通项公式
解：a(n+1)=3an/(2an +1),
取倒数得：
1/ a(n+1)= (2an +1) /(3an),
即1/ a(n+1)=2/3+1/(3an),
1/ a(n+1)-1=1/3(1/an-1),
所以数列{1/an-1}是公比为1/3的等比数列，首项为1/a1-1=2/3.
所以1/an-1=2/3•(1/3)^(n-1),
1/an=1+2/3^n,
an=1/(1+2/3^n)
an=3^n/(3^n+2).

【特征根法】
A(n+2)=pA(n+1)+qAn， p,q为常数
（1）通常设： A(n+2)-mA(n+1)=k[A(n+1)-mAn],
则 m+k=p, mk=-q
（2）特征根法：
特征方程是y²=py+q（※）
注意：① m n为（※）两根。
② m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，嘿嘿
③ m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。

例：A1=1,A2=1,A(n+2)= 5A（n+1）-6An，
特征方程为：y²= 5y-6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3

于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3An] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2An] (2)
所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)

消元消去A（n+1），就是An,
An=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.