从二者的英英释义中可以看出区别。
1. 二者释义
⑴ intermediate的英英及汉语释义
① lying between two extremes in time or space or state：位于时间/空间/状态上两端之间的；
② around the middle of a scale of evaluation：位于评估范围中间周围的。
⑵ middle这个词大家清楚，其意思是“中间的、中央的、居中的、正中的” 。
2. 二者区别
① 从上述释义可见，intermediate作形容词表“中间的”时，其边界是模糊的、不清晰的；middle作“中间的”解时，其边界是相对清晰的，一般指“恰在中间/中央的”、“正中间的”。
② intermediate用于表示“处于中间状态的” ，而middle则一般用于表示“处于中间位置的” 。
例如：
He's a tennis player of intermediate level.(他是一名中等水平的球员)
We have courses for the beginner, basic, intermediate and advanced students.(我们有面对初级班、基础班、中级班和高级班学员的课程)
Among the three，his age is just in the middle.(三人中他的年龄恰好处在中间)
intermediate 一般指的等级 如: The apple is intermediate among those apples.
这个苹果还行。
middle 也可以表达等级。
你说的对，internediate 从字面意思的确也能表达school.
但是语言中还有一个标准叫"习惯用法"，欧美对于学校的专有词就是这么使用的。
就像中国，表达"中"的词还有"2者之间"
，但是我们肯定不会把中学，叫做"2者之间学校"。这就是习惯用法。
中学是可以说成intermediate school的，比如在新西兰。每个英语国家的语言习惯不同而已。
截图来自维基百科
intermediate bank 中间行（两个银行之间的中介）
middle school 中学