高等数学中关于分部积分的问题

Question

下面是我做的一道题，但在积分过程中遇到了一点问题。小弟我水平有限，还望高人指正啊。
已知公式：

求积分：

由分部积分法可知：

化简后得：

进一步化简：

这明显与基本事实矛盾，但我却不知道错在哪里，还求高手指教啊。。。
其实这个积分很简单，但就是分部积分的算法为何不能得出正确答案呢？

Answer 1

不定积分的结果是一簇函数集合中的一个，他们之间相差一个常数，所以倒数第二步结果是对的啊！

Answer 2

分部积分方法没错，你解题的步骤也没错，就是最后的化简有问题。不定积分不能被当成常数项直接消掉啊

Answer 3

答：这个无需采用分部积分法，凑微分即可处理

∫ 1/[xlnx] dx
=∫ 1/lnx d(lnx)
=ln(lnx)+C追问

其实我的问题是分部积分错在了哪里哎。。。

追答

不定积分是族函数的表达：

∫ 1/[xlnx] dx
=∫ 1/lnx d(lnx)
=(lnx)*(1/lnx)-∫ lnx d(1/lnx)
=1-∫ lnx *[-1/(lnx)^2] *(1/x) dx
=1+∫ 1/[xlnx] dx+C
0=1+C才对...

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