求积分的方法总结高数

Question

如题所述

Answer 1

积分是微积分学与数学分析里的一个核心 概念。通常分为定积分和不定积分两种。
求定积分的方法有换元法、对称法、待定 系数法等;求不定积分的方法有换元法和 分部积分法。
分部积分法是微积分学中的一类重要的、基本的计算积分的方法。它是由微分的乘法法则和微积分基本定理推导而来的。它的主要原理是将不易直接求结果的积分形式,转化为等价的易求出结果的积分形式的。
换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量的变量求出结果之后,返回去求原变量的结果。
换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来,或者把隐含的条件显示出来,或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题.其理论根据是等量代换。

Answer 2

定积分的学习除了要求大家能熟练地使用解题方法，还需要大家注重对于定义性质的理解与把握。后续的二重积分和定积分的的应用问题都是需在定积分定义理解的基础上再进行学习。定积分的计算主要牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算。定积分的本质是通过微元法得到的极限，所以可以被应用于求数列和式极限的问题。在解决该类问题时，可通过在0至1闭区间上将曲边梯形均分为n份，并取每个被分割的小条中的右端点的纵坐标值作为小条的高，从而依据定积分的定义可行形成式子。利用定积分的定义求数列的极限是考研重点考察的题型。

定积分的计算题型主要有以下几种：

（1）基本积分法；

（2）分割区域处理分段函数，绝对值函数，取整函数和最大最小函数；

（3）利用函数的奇偶性化简定积分；

几个十分有用的定积分公式：


题型一：分割区域处理分段函数，绝对值函数，取整函数和最大最小函数

分析：当定积分里面的被积函数是分段函数，绝对值函数，取整函数和最大最小值函数时，可以考虑对积分区间进行分割，然后在不同分割区间段进行积分。

例1：


分析：本例中的被积函数存在绝对值函数，当（x-2）>0时，|x-2|=x-2，当（x-2）<0时，|x-2|=2-x；所以需要把积分区间[0，3]分成[0，2]和[2，3]两段，这样就可以确定|x-2|的符号。

解：


题型二：利用函数的奇偶性化简积分

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