设p是素数,a是整数,(a,p)=1,证明:存在整数u,v,(u,v)=1,使u^2+a*u^2=0(modp)的充要条件是-a是模p的二次剩余

Question

如题所述

Answer 1

充分性：因为
-a
是模
p
的二次剩余，因此方程
x^2≡
-a(mod
p)
有解，
设
u^2≡
-a(mod
p)
，
则
u^2+a≡u^2+a*1^2≡0(mod
p)
。因此存在整数
u、v
满足条件。
必要性：由（u，v）=1
及
u^2+a*v^2≡0(mod
p)
得
（p，v）=1
，
因此存在整数
v1
使
vv1≡1(mod
p)
，
在已知等式中，两边同乘以
v1^2
得
(uv1)^2+a(vv1)^2≡(uv1)^2+a≡0(mod
p)
，
即
(uv1)^2≡
-a(mod
p)
，
这说明
-a
是模
p
的二次剩余
。